Экспоненциальный интеграл ?

[inkerman]

Нужно свести интеграл к известным табличным интегралам и/или элементарным функциям

$$I(a,b) = \int_{a}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{x+b} dx$$

Мешает b в знаменателе, без нее это экспоненциальный интеграл $\frac{1}{2} Ei(1,a^2)$. Как быть с b не знаю... Может будут у кого-то идеи?
Кроме численного интегрирования при заданных a и b

[Alex_J]

$t=x+b$ а затем по частям?

[inkerman]

При такой замене в числителе получается экспонента плохая.
По частям попробую, но кажется не получится ничего хорошего так.

-- Сб апр 27, 2013 11:22:05 --

По частям у меня не вышло ничего хорошего. Интеграл не упростился, а стал только сложнее.

[Vince Diesel]

Математика не дает ответа даже при $a=b=1$. Так что, возможно, хорошего выражения и нет.

[inkerman]

Видимо действительно нет. Maple тоже не нашел ответа. А жаль.
Спасибо за помощь!

[Alex_J]

inkerman
Преобразование Лапласа?..

-- 27.04.2013, 20:04 --

В особо запущенных случаях помогает тупо разложить по Тейлору, а там как повезёт

-- 27.04.2013, 20:06 --

А ещё мерещится в результате некая (бесконечная?) сумма Ei со специфическими коэффициентами и/или аргументами.

-- 27.04.2013, 20:20 --

Смарите-ка.
Раскладываем $\frac{1}{x+b}$ в тейлора, а затем Maple вот что даёт про $\int_a^\infty{x^k e^{-x^2}}$:
(1/2)*a^k*(2*a*(a^2)^(-(1/4)*k-1/4)*exp(-(1/2)*a^2)*WhittakerM((1/4)*k+1/4, (1/4)*k+3/4, a^2)/((-(1/2)*k-1/2)*(3+k))+(a^2)^(-(1/4)*k-1/4)*exp(-(1/2)*a^2)*WhittakerM((1/4)*k+5/4, (1/4)*k+3/4, a^2)/((-(1/2)*k-1/2)*a)+Pi*sec((1/2)*Pi*k)*a^(-k)/GAMMA(1/2-(1/2)*k))

-- 27.04.2013, 20:22 --

Не особо радостно, зато далее вот эта шняга помноженная на $\frac{(-1)^k}{b^{k+1}}$ есть слагаемое бесконечной суммы по $k$ с элементарными и не очень функциями.

-- 27.04.2013, 20:27 --

http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=WhittakerM

[Ms-dos4]

Alex_J
Что то вы много написали в выражении для интеграла. Там всё проще
$\[\int\limits_a^\infty {{e^{ - {x^2}}}{x^k}dx} = \frac{1}{2}(\Gamma (\frac{{k + 1}}{2},{a^2}) - \Gamma (\frac{{k + 1}}{2})) + (\frac{{k + 1}}{2})\]$