Условие на коэффициенты д.у. Ортогональность системы функций

[Falex]

Здравствуйте. Какие требования должны налагаться на коэффициенты $A_1$,$B_1$,$C_1$,$B_2$,$C_2$,$C_3$, чтобы полиномы степени $m \ge 2$,являющиеся собственными функциями уравнения

$$ (A_1 z^2+ B_1 z+ C_1) \cdot \frac {d^2 P(z)}{dz^2}+ (B_2 z+ C_2) \cdot \frac {d P(z)}{dz}+C_3 P(z) = 0 $$

образовывали ортогональную систему функций.

[Falex]

Никто не занимался этим вопросом?
Или подскажите у кого спросить или где искать.

[Nord]

Искать по словам полиномы Лежандра

[Falex]

Хм.Я такие же многочлены могу найти многочлены Якоби.Это не выход.А если дифференциальное уравнение 3 порядка,то какие условие на коэффициенты для ортогональности многочленов!

[незваный гость]

Я не очень понимаю, что Вас интересует. Ортогональны? С каким весом и на каком отрезке?

Вы, конечно, видели эти статьи: БСЭ, mathoworld, EoM?

[Nord]

Falex писал(а):

Хм.Я такие же многочлены могу найти многочлены Якоби.Это не выход.А если дифференциальное уравнение 3 порядка,то какие условие на коэффициенты для ортогональности многочленов!

Неправда Ваша. Вам уже выше указали, что "ортогональность" - она бывает с весом. И единственные полиномы (семейство полиномов), ортогональных с весом 1 на отрезке от 0 до 1 -полиномы Лежандра.

[Falex]

незваный гость,Nord читал и вас понял.Вес $h(x)$ как раз и будет зависеть от коэффициентов уравнения или наоборот:коэффициенты будут зависеть от $h(x)$. Надо какие-то условие на эти коэффициенты найти (в зависимости от $h(x)$ и отрезка), чтобы полином,являющийся решением диф.уравнения (порядка 2,3,...) был ортогональным с весом $h(x)$.

[Falex]

Поставлю вопрос конкретнее.
Пусть дано диф.уравнение

$$ \left( {A_1 z^3 + B_1 z^2 + C_1 z + D_1 } \right)\frac{{d^3 P(z)}}{{dz^3 }} + \left( {B_2 z^2 + C_2 z + D_2 } \right)\frac{{d^2 P(z)}}{{dz^2 }} + \left( {C_3 z + D_3 } \right)\frac{{dP(z)}}{{dz}} + D_3 P(z) = 0. $$

Какие условия (или какими должны быть) коэффициенты диф.уравнения,чтобы полиномы-решения это уравнения
образовывали ортогональную систему с весом $h(x)$.

Я так предполагаю,что $h(z)$ имеет вид $h(z)=h_0+ h_1 z+ h_2 z^2+ h_3 z^3$ и что коэффициенты уравнения
каким-то образом зависят от $h(z)$.

[Nord]

Не совсем. Весовые функции чаще всего имеют неполиномиальный вид (кроме случая Лежандра).
Правильно ли я понимаю Вашу задачу:
Найти условия на коэффициенты уравнения (1), при котором оно
1) имеет полиномиальные решения
2) эти решения ортогональны с некотором весом h(x)?

Тогда мне кажется, что первая ссылка в ответе незванного гостя содержит нужную Вам информацию. По крайней мере, я увидел в ней достаточные условия на коэффициенты уравнения, чтобы его решения представляли собой систему полиномов. Кроме того, там написано, как найти весовую функцию, с которой они ортогональны.

[Falex]

Ну так там уравнение 2-ого порядка.А для 3-его порядка как быть.

[Nord]

Я извинияюсь, но в Вашем первом посте написано уравнение второго порядка. Вы уж определитесь, что Вам нужно.

[Falex]

Nord.См.сообщение от

Цитата:

Сб Июн 30, 2007 23:53:34

[Nord]

Я понимаю, что это уже оффтопик, но все же...

Вы мне начинаете напоминать студента из анекдота, который простейшую задачу решал при помощи профессора и нетривиального обобщения исходной постановки.

Так вс-таки Вам нужен результат для уравнения 2 или 3 степени? Для уравнения второй степени теория хорошо разработана, а для третьего я даже ничего не слышал (хотя, признаюсь, что я неспециалист).

[Falex]

Для уравнения 2 поряка - эт классические ортогональные многочлены.
Меня интересует 3-ий порядок.