Векторное поле, первый интеграл и инвариантное множество

[scwec]

Пусть $X$ - гладкое векторное поле на $\mathbb{R}^n$, гладкая функция $U(x)$ - первый интеграл $X$, т.е. $X(U(x))=0$, где $x\in\mathbb{R}^n$
Множество $M\subset\mathbb{R}^n$ состоит из всех точек $\mathbb{R}^n$, для которых $dU(x)=0$. Докажите, что $M$ инвариантно относительно $X$, т.е. $M$ целиком состоит из траекторий поля $X$.

[Oleg Zubelevich]

я тут прохаживаюсь неподалеку с кувалдой, на ручке которой написано "теорема о выпрямлении векторного поля"

[scwec]

Простовато будет. Не везде оно, к сожалению, выпрямляется.

[Oleg Zubelevich]

для положений равновесия утверждение тривиально

[scwec]

Да дело даже не в этом. Утверждение-то носит глобальный характер, а теорема о выпрямлении локальна.
Напишите, как Вы её собираетесь применить. Может, действительно, что-то получится.
Я имел в виду другие соображения для доказательства.

[Oleg Zubelevich]

ну я так понимаю, что надо покрыть траекторию открытыми шариками в каждом из которых поле выпрямляется. Разве глобальное утверждение из локальных не сшивается?

[scwec]

Может, и сшивается, но это ведь всё нужно доказывать и зачем такие хлопоты нужны.
Вот попробуйте всё это сделать аккуратно. Очевидные, казалось бы факты, не всегда просто объясняются.
Кстати, коротенький кусочек почему принадлежит $M$? Следующие кусочки вдруг будут убывать и убывать? И не покроют всю траекторию?
Нужны какие-то оценки по этому поводу. Сплошные неприятности.
Нужно понятное (в данном случае - простое) и прозрачное доказательство.

[Oleg Zubelevich]

Все и есть просто. Рассмотрим решение $x(t),\quad \dot x(t)\ne 0$. Предположим, что если $t\le 0$ то $x(t)\in M$, а при $t>0$ будет $x(t)\notin M$. Очевидно это невозможно, поскольку в окрестности точки $x(0)$ применима теорема о выпрямлении векторного поля.

[scwec]

А зачем $U$ первый интеграл?

[Oleg Zubelevich]

затем, что в координатах в которых $X=(1,0,...,0)$ функция $U$ не зависит от $x^1$. И поэтому если решение $x(t)=(x_0^1+t,x_0^2...,x_0^n)$ принадлежит множеству $M$ при $t=0$ то оно ему принадлежит и при $t\in(-\varepsilon,\varepsilon$)$

Собственно, вот решение и написано.

[scwec]

Всё верно.
Решение, которое имелось в виду, таково:
Компоненты формы $dU$ удовлетворяют на траектории $x=x(x_0,t)$ поля $X$ линейной системе дифф. уравнений.
Она получается из уравнения $X(U)=0$ дифференцированием его по $x^1,x^2,...,x^n$ и выглядит так:
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{U}}{\partial{x^j}})=-(\frac{\partial{\xi}^i}{\partial{x^j}})\frac{\partial{U}}{\partial{x^i}}$, где ${\xi}^i$ - компоненты поля $X$. Отсюда обращение в нуль $dU$ в одной точке траектории означает $dU=0$ вдоль всей траектории.

У меня ещё одна задача из этой серии.
Пусть $X,Y$ - два коммутирующих поля на $\mathbb{R}^n$. Докажите, что множество линейной зависимости $X,Y$ инвариантно относительно $X$ и $Y$.

[scwec]

Пусть в т. $x_0\in\mathbb{R}^n$ поля $X,Y$ линейно зависимы $X(x_0)=kY(x_0)$. И пусть траектория $X$, проходящая через $x_0$ есть $x=x(x_0,t)$. Рассмотрим поле $Z=X-kY$, $Z(x_0)=0$. Из $[X,Y]=0$ следует $[Z,X]=[Z,Y]=0$. Ограничение поля $Z$ на траекторию $x=x(x_0,t)$ удовлетворяет линейной системе $\frac{dZ}{dt}=(\frac{\partial{X}}{\partial{x}})Z$ (уравнения в вариациях). Это следует из определения коммутатора и равенства его нулю. Таким образом, равенство $Z=0$ вдоль всей траектории $X$ следует из $Z(x_0)=0$ и тогда $X=kY$ на всей траектории $x=x(x_0,t)$. То же и по отношению к траекториям поля $Y$.
Из этого простого утверждения следует, например, что если $X$ и $Y$ имеют только изолированные особенности, то они одни и те же для $X$ и $Y$
или на изолированных периодических траекториях $X$ и $Y$ эти поля линейно зависимы и т.д.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #719801 писал(а):

на изолированных периодических траекториях $X$ и $Y$ эти поля линейно зависимы и т.д.

что используют для доказательства отсутствия полей симметрий...

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #719807 писал(а):

что используют для доказательства отсутствия полей симметрий...

Вместо и т.д. у меня сначала было написано "много чего здесь придумал А.Пуанкаре".
Ваше продолжение приветствуется.