Определенный интеграл с помощью ряда

[provincialka]

_Ivana в сообщении #715697 писал(а):

Dan B-Yallay, спасибо, уже подумал об этом - мы можем оценить ошибку интеграла "прямоугольником" - максимальное отклонение нашего приближения от исходной функции умноженное на длину отрезка интегрирования. То есть, для заданной точности интеграла требуется, чтобы ошибка приближения подынтегральной функции на всем отрезке была не больше заданной для всего интеграла, деленной на длину отрезка интегрирования. Осталось выяснить (мне), откуда ТС взял утверждение

Limit79 в сообщении #715330 писал(а):

17й член ряда меньше точности

, и что он этим имеет в виду - если этот ряд применять на всем отрезке интегрирования, то при $x=1$ 17-й член ряда будет равен по модулю всего около $0.03$, что более чем на порядок больше необходимой точности. Если добиваться точности не более $0.001$ на всем отрезке интегрирования, то надо взять большее число членов - по моим расчетам необходимо $500$ членов ряда (с учетом длины отрезка интегрирования, меньшего 1).

Someone спасибо вам за пояснения, но, как видите, даже сейчас не все мои вопросы для меня прояснены.

ЗЫ наверное проще будет самому честно взять и посчитать этот интеграл с разным количеством членов ряда и сравнить полученные значения с максимально точным, посчитанным где-нибудь в Альфе или подобной программе.

У разных людей разные оценки числа членов, так что мне захотелось самой проверить. Прав ТС.
Надо досчитать до члена с номером 31, но ведь в сумме только члены с нечетными номерами, так что их всего 16.

[provincialka]

Предлагаю некоторое "улучшение сходимости". Искомая сумма всегда лежит на отрезке с концами $S_n, S_{n+1}$. Если взять в качестве оценки его середину, то оценку отбрасываемого слагаемого можно увеличить вдвое. Так что достаточно 11 членов, вместо 16.

[Limit79]

mihailm в сообщении #715729 писал(а):

Процедуры не совсем простые и не алгоритмические

Если так, то проще честно просуммировать 16 членов ряда.


Все члены ряда я брал с точностью до 7-ми знаков после запятой, в итоге получил $0.8155896$

Результат, полученный вольфрамом: $0.816076$

$|0.816076 - 0.8155896| < 0.001$

-- 26.04.2013, 19:19 --

В теории, можно посчитать точное значение суммы этих 16 членов, и, как я понимаю, по следствию из теоремы Лейбница, погрешность при этом будет менее данной.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #715897 писал(а):

Если так, то проще честно просуммировать 16 членов ряда.

Если брать в качестве приближенного значения полусумму двух соседних частичных сумм, достаточно взять 11 слагаемых (для ряда, порожденного нижним пределом - вообще одно). Получаем значение 0,815969282. Точность даже еще лучше.

[Limit79]

provincialka
Спасибо, но это несколько сложнее.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #716047 писал(а):

provincialka
Спасибо, но это несколько сложнее.

Почему? Вы не храните предыдущие значения суммы?
Можно сделать так. Подсчитываете очередное слагаемое, и, если оно больше 0,002, прибавляете его к предыдущей сумме. Если же меньше - прибавляете половину и на этом заканчиваете. Тут даже одно лишнее слагаемое получится.

На Excel вообще все посчиталось мгновенно и с гораздо большей точностью. О чем разговор?

[Limit79]

provincialka
О том, что это стандартная учебная задача, и решать ее нужно самыми простыми, классическими методами

[provincialka]

Limit79 в сообщении #716108 писал(а):

provincialka
О том, что это стандартная учебная задача, и решать ее нужно самыми простыми, классическими методами

? А взятие полусуммы - это сложный метод?
Лейбницевский ряд хорош тем, что на каждом шаге дает двустороннюю оценку, интервал, в котором находится ответ. Ну, и берем середину этого интервала.

Впрочем, дело хозяйское.

(Оффтоп)

в наше время, с появлением компьютеров, некоторые старые задачи потеряли свой смысл. Ну зачем минимизировать число слагаемых, если простм движением мышки в Excel я делаю их 50, 100, 1000 и т.п.

[ewert]

provincialka в сообщении #716155 писал(а):

Ну зачем минимизировать число слагаемых, если простм движением мышки в Excel я делаю их 50, 100, 1000 и т.п.

И потом повторить эту процедуру 50, 100, 1000 и т.д. раз.

[provincialka]

ewert в сообщении #716169 писал(а):

provincialka в сообщении #716155 писал(а):

Ну зачем минимизировать число слагаемых, если простм движением мышки в Excel я делаю их 50, 100, 1000 и т.п.

И потом повторить эту процедуру 50, 100, 1000 и т.д. раз.

? Не поняла. Это зачем? Если что-то другое считать, другой интеграл?

Я в Excel записала все вычисления в нескольких столбцах, и потом растянула их на 50 строк. Все стало видно.

[_Ivana]

provincialka, метод

Цитата:

Подсчитываете очередное слагаемое, и, если оно больше 0,002, прибавляете его к предыдущей сумме. Если же меньше - прибавляете половину и на этом заканчиваете.

имхо весьма красив и прост, только я бы применил критерии прибавления очередного слагаемого отдельно для каждого из рассчитанных пределов интегрирования (для $0.1$ ряд закончится раньше). А насчет Экселя и зачем знать число слагаемых - если вам один раз решить одну учебную задачу, то это не важно, а если у вас этот интеграл будет рассчитывать, допустим, система управления ракетой, да каждый раз с переменными пределами интегрирования, да не реже 100 раз в секунду, а ресурсы ограничены, то задача оптимизации - минимизации временных затрат расчета при гарантированном получении заданной точности встает во всей своей красе. И, кстати, в этом случае лучше заранее забить в алгоритм 16 слагаемых и не делать проверки на меньше 0.002 - так мы минимизируем время расчета для самого худшего случая, и не будем тратить драгоценные микросекунды на проверки условий. И вот как раз для этого надо повертеть исходную задачу на компьютере и получить это самое волшебное число 16, которое потом и заложить в простой, надежный и быстрый алгоритм управления ракетой.

[Limit79]

provincialka
За идею спасибо, но преподаватель не поймет моих вычислений в мат. и офисных пакетах, к сожалению.

Просто я думал, может быть в таких случаях есть какой-нибудь стандартный и относительно простой способ улучшения сходимости, ну или еще какой стандартный трюк.

-- 27.04.2013, 15:17 --

provincialka в сообщении #716193 писал(а):

Я в Excel записала все вычисления в нескольких столбцах, и потом растянула их на 50 строк. Все стало видно.

Насколько я понимаю, там имелась ввиду как раз та мысль, про преподавателя.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #716228 писал(а):

За идею спасибо, но преподаватель не поймет моих вычислений в мат. и офисных пакетах,
Насколько я понимаю, там имелась ввиду как раз та мысль, про преподавателя.

(Оффтоп)

ну, собственно, я тоже преподаватель

Ну и не надо! Пишете первое слагаемое, вычитаете второе, прибавляете третье и т.д. как только очередное будет меньше 0,002, говорите: вот, искомое значение между этим и этим, возьмем в качестве приближения их полусумму. Что тут может не понраиться преподавателю?

-- 27.04.2013, 18:55 --

_Ivana в сообщении #716210 писал(а):

А насчет Экселя и зачем знать число слагаемых - если вам один раз решить одну учебную задачу, то это не важно, а если у вас этот интеграл будет рассчитывать, допустим, система управления ракетой, да каждый раз с переменными пределами интегрирования, да не реже 100 раз в секунду, а ресурсы ограничены, то задача оптимизации - минимизации временных затрат расчета при гарантированном получении заданной точности встает во всей своей красе.

В этом случае главное - выбрать менее дебильный плохо сходящийся ряд.

Ну, число 11 тоже можно подсчитать заранее, какая проблема? После подсчета вычитаем половину последнего слагаемого.