Язык, мат. логика и конечные множества

[Asker Tasker]

Пожалуйста, помогите разобраться в следующем вопросе.

В половине книг по мат. логике, которые я видел, сначала вводилось понятие "языка", затем "формулы", а затем уже были конъюнкция, импликация, аксиомы и так далее.
Но при определении "языка" предполагалось известным понятие "множества", точнее, конечного множества.

С другой стороны, для теории множеств и для построения натуральных чисел нужно, чтобы мат. логика уже была известна, ведь для обоих разделов нужны понятия "аксиомы", "высказывания" и так далее.

Вопрос, собственно, в следующем: что должно быть определено/изучено/постулировано раньше: множество и натуральные числа или всё-таки высказывания, аксиомы и так далее?

Потому что я совсем запутался. Заранее спасибо.

[Sonic86]

Я боюсь, тема создана не в том разделе.

(Оффтоп)

Короче, я сейчас буду писать медленно чушь, потому что торможу, но, надеюсь, суть Вы поймете

Даже алгебру высказываний нельзя описать, если не знаешь алгебры высказываний. Вот посмотрите, что это за определение:
$\mathrm{Def}$. Говорим, что высказывание $A\wedge B$ истинно тогда и только тогда, когда высказывание $A$ истинно и когда высказывание $B$ истинно.
Чтобы мочь выписать это определение, надо знать, что такое "и". И вообще определение имеет вид тавтологии.

Asker Tasker в сообщении #714583 писал(а):

С другой стороны, для теории множеств и для построения натуральных чисел нужно, чтобы мат. логика уже была известна, ведь для обоих разделов нужны понятия "аксиомы", "высказывания" и так далее.

Не, для теории множеств точное знание этих понятий не нужно. Т.е. есть объект изучения и есть инструмент изучения. Инструмент может определяться менее строго, чем объект. Аксиомы - это инструмент. Вообще, разве есть формальное определение аксиомы? Вроде даже нет. А понятие высказывания для знания теории множеств вроде даже и не нужно. Для изучения теории множеств не нужна матлогика. Нужна просто логика. Логику вообще нужно знать до изучения математики, не строго и не полностью, а базовую часть.

(Оффтоп)

Вообще, можно помыслить ситуацию, когда изучается 1-й кусочек логики, потом 1-й кусочек теории множеств, потом 2-й кусочек логики, потом 2-й кусочек теории множеств... Изучение каждого следующего кусочка основывается на предыдущих кусочках. Т.е. необязательно изучить только одно целиком, а потом - другое

Потом, после изучения теории множеств (можно даже ее всю не учить, а только базу. Зачем, например, для изучения матлогики аксиома регулярности??? чтоб в противоречия наивной теории множеств не впадать?), можно учить матлогику - в ней высказывания уже становятся объектом исследования, а множества - инструментом.
Т.е. если для Вас разобраться в предмете равносильно строгому и формальному построению теории, то тут ничего не сделаешь - в теории множеств нельзя обойтись полностью без логики, а в логике без теории множеств можно, но тогда логика примет вид какой-то древней гуманитарной теории. Если же хочется просто понять - Вы можете просто параллельно читать обе теории - в голове все аккуратно сложится. Теория множеств, конечно, выразительнее и богаче логики.

[AGu]

Asker Tasker в сообщении #714583 писал(а):

Но при определении "языка" предполагалось известным понятие "множества", точнее, конечного множества.
С другой стороны, для теории множеств и для построения натуральных чисел нужно, чтобы мат. логика уже была известна

Вы всё правильно говорите. В рамках современных традиций для формализации "логики" (например, исчисления предикатов) нужна какая-нибудь теория множеств, а для формализации теории множеств нужна "логика" (например, исчисление предикатов). И до сих пор этот круг никто разорвать не сподобился. Приходится поступать так (и это нынче классика): сначала описывают так называемую "наивную" теорию множеств (т.е. вполне себе теорию множеств, но не шибко формализованную -- без фанатизма, основанную на интуиции), слегка ее развивают, потом на основе этой слегка развитой наивной теории формализуют "логику" (язык, аксиоматика, правила вывода, модели и истинность -- для теоремы о полноте -- и т.д. и т.п.), а потом на основе "логики" вновь формализуют теорию множеств (вернее, формализуют понятие теории, а теория множеств возникает как частный случай) -- но теперь уже как бы более основательно. Получается, что теория множеств сама себя формализует (посредством исчисления предикатов). Хотя более правильно говорить иначе: в рамках метатеории множеств формализуется теория множеств. Это всё вещи довольно тонкие, их далеко не все сразу просекают, а некоторые вообще не просекают -- и ничего, вполне продуктивно трудятся на математической ниве. Как говорится, ты работай-работай, а уверенность придет. (Недавно рассказали байку: Инженер во время доклада то и дело произносит слово "интеграл". Его спрашивают: а что это, мол, такое -- интеграл? Он в ответ: я тоже сначала удивлялся, а потом привык.)

[lena7]

AGu в сообщении #714669 писал(а):

в рамках метатеории множеств формализуется теория множеств

Я далека от мат. логики, но интуитивно кажется, что так и надо. Разве можно обойтись без некоторой мета-теории, чтобы разорвать порочный круг?

(Наивный взгляд на проблему и её решение)

Природа действует по некоторым логическим законам. Эволюцией в нас развито их интуитивное понимание (тот, кто интуитивно понимал физику, был живучее того, кто не понимал). Это интуитивное понимание является мета-теорией, на основе которой мы создаём уже формализованную теорию. И вот уже в этой песочнице, в этом замкнутом формальном мире, мы можем строго строить всю математику, не опираясь на исходную мета-теорию.

[Xaositect]

Тут правильно говорят, что есть метатеория, и именно в метатеории мы говорим о языке теории, формулах теории и.т.п.
Но хочется отметить, что в метатеории не обязательно должны быть множества - достаточно, чтобы в ней можно было конструировать строки и выражать предикаты типа "строка $\varphi$ является правильно построенной формулой". Например, в качестве метатеории может использоваться арифметика или теория конкатенации

[Joker_vD]

Вау. Чего только люди не выдумывают. Топосы уже не мэйнстрим?

[Asker Tasker]

Спасибо всем за ответы.