Вопрос по теории множеств

[sopor]

AGu в сообщении #715128 писал(а):

sopor в сообщении #715126 писал(а):

Мне не верится, что в счётном числе прямых точек столько же, сколько во всей плоскости...

Более того, во всей плоскости столько же точек, сколько их в одной единственной прямой. Попробуйте на досуге это доказать. Это на самом деле несложно. Нужно всего лишь придумать такой способ "склейки" пары вещественных чисел в одно число, чтобы разные пары склеивались в разные числа.

Да, точно, у нас же теорема была на мат.логике, что если $A$ - бесконечно, то $|A \times A|=|A|$. Как я мог задать такой глупый вопрос...

[Doil-byle]

AGu в сообщении #715128 писал(а):

Более того, во всей плоскости столько же точек, сколько их в одной единственной прямой. Попробуйте на досуге это доказать. Это на самом деле несложно. Нужно всего лишь придумать такой способ "склейки" пары вещественных чисел в одно число, чтобы разные пары склеивались в разные числа.

Я вот чего-то туплю и мне не очевидна эта склейка. Но можно же вроде бы установить биекцию между
$\mathbb{R \times R}$ и множеством всех прямых на плоскости, пользуясь тем, что прямая $y=kx+b$ однозначно определяется упорядоченной парой $(k,b)$. А прямых на плоскости - континуум, поскольку непрерывная функция полностью определяется своими значениями в рациональных точках. То есть установлена требуемая равномощность $\mathbb{R \times R}$ и $\mathbb{R}$, а значит и между точками плоскости и точками прямой.
Впрочем, говоря о склейке, можно также иметь ввиду перенумерацию прямых вещественными числами.

[Joker_vD]

Doil-byle в сообщении #715265 писал(а):

Я вот чего-то туплю и мне не очевидна эта склейка.

Ну напишите друг под другом две бесконечные десятичные дроби (без целой части). Теперь подумайте, как бы их так склеить?

[Doil-byle]

А, вытянуть их в одну дробь в порядке верхняя-нижняя, верхняя-нижняя (цифры) друг за другом? Тогда вроде склейка ясна.

[Someone]

Там куча технических проблем, связанных с тем, что десятично-рациональные числа имеют по две записи ( с нулями в конце и с девятками в конце).

Но можно воспользоваться тем, что множество иррациональных чисел равномощно множеству действительных чисел (взаимно однозначное соответствие указать легко, воспользовавшись тем, что они отличаются на счётное множество), и свести дело к равномощности множества иррациональных чисел и его квадрата.

[AGu]

Someone в сообщении #715338 писал(а):

Там куча технических проблем, связанных с тем, что десятично-рациональные числа имеют по две записи ( с нулями в конце и с девятками в конце).

Поскольку (благодаря теореме Кантора — Бернштейна) нам достаточно построить всего лишь инъекцию $\mathbb R^2\to\mathbb R$, эта проблема не возникает. Если, например, запретить десятичным записям чисел иметь хвосты из девяток, то в «склеенных» последовательностях $a_1b_1a_2b_2\dots a_nb_n\dots$ тоже не будет таких хвостов.

[Doil-byle]

Someone в сообщении #715338 писал(а):

Но можно воспользоваться тем, что множество иррациональных чисел равномощно множеству действительных чисел (взаимно однозначное соответствие указать легко, воспользовавшись тем, что они отличаются на счётное множество), и свести дело к равномощности множества иррациональных чисел и его квадрата.

Я так тоже подумал, кстати