Оценка для логарифма (можно ли придумать?)

[never-sleep]

Вот если есть выражение, содержащее логарифм, как его можно оценить сверху хоть примерно?

$\dfrac{1}{\ln(a-x)}\leqslant ?$

Знаю, что $\ln(1+x)\leqslant x$, но боюсь здесь это не поможет

[provincialka]

В каком классе функций Вы ищете оценки? Для всех $x$ или для некоторых? Насколько точные?

[Someone]

Предполагается, что $a>0$?

$\ln(a-x)=\ln a+\ln\left(1-\frac xa\right)=\ln a-\frac xa-\frac 12\left(\frac xa\right)^2-\frac 13\left(\frac xa\right)^3-\frac 14\left(\frac xa\right)^4-\ldots$
При $0<x<a$ сверху можно оценить, обрезав ряд после конечного числа членов, а снизу - заменив все дроби $\frac 1k$ единицами и просуммировав полученную геометрическую прогрессию. Если нужно точнее, несколько членов сохраните без изменения, а в последующих дроби $\frac 1k$ замените на первую из них (самую большую).
При $-a<x<0$ получается знакочередующийся ряд с убывающими по абсолютной величине членами, поэтому его частичные суммы поочерёдно то меньше, то больше $\ln(a-x)$. Частичными суммами и оценивайте.

[never-sleep]

Someone в сообщении #715345 писал(а):

Предполагается, что $a>0$?

$\ln(a-x)=\ln a+\ln\left(1-\frac xa\right)=\ln a-\frac xa-\frac 12\left(\frac xa\right)^2-\frac 13\left(\frac xa\right)^3-\frac 14\left(\frac xa\right)^4-\ldots$
При $0<x<a$ сверху можно оценить, обрезав ряд после конечного числа членов, а снизу - заменив все дроби $\frac 1k$ единицами и просуммировав полученную геометрическую прогрессию. Если нужно точнее, несколько членов сохраните без изменения, а в последующих дроби $\frac 1k$ замените на первую из них (самую большую).
При $-a<x<0$ получается знакочередующийся ряд с убывающими по абсолютной величине членами, поэтому его частичные суммы поочерёдно то меньше, то больше $\ln(a-x)$. Частичными суммами и оценивайте.

Спасибо, понял

-- 25.04.2013, 13:23 --

provincialka в сообщении #715343 писал(а):

В каком классе функций Вы ищете оценки? Для всех $x$ или для некоторых? Насколько точные?

В классе многочленов, если так можно выразится. Хоть с какой-нибудь точностью, пусть даже очень грубо.

[provincialka]

Тогда просто

never-sleep в сообщении #715350 писал(а):

В классе многочленов, если так можно выразится. Хоть с какой-нибудь точностью, пусть даже очень грубо.

Тогда простое деление на многочлен Тейлора не поможет, надо будет его тоже оценивать. Кроме того, ряд Тейлора для логарифма имеет ограничение на сходимость, так что при $x <-a$ формула не подойдет.

Кстати, какое у вас $ a$? Больше 0? Больше 1? Например, при $x\to a-1$ ваша функция неограничена, так что никаким многочленом оценена быть не может.

[never-sleep]

$\dfrac{1}{\ln(1-\frac{x}{a})}\leqslant 1-\dfrac{x}{a}$ получилось для $x\leqslant a$

[provincialka]

never-sleep в сообщении #715360 писал(а):

$\dfrac{1}{\ln(1-\frac{x}{a})}\leqslant 1-\dfrac{x}{a}$ получилось для $x\leqslant a$

Левая часть сильно изменилась, не сводится к исходной. Само неравенство тоже неверно (проверила на графиках ). Подставьте, например, $x = 0$.
Если и возможна оценка то только на некотором промежутке, где функция ограничена.

[Евгений Машеров]

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько)
При $x=a+1$ оценка бесконечность!

Вообще же что известно про x и про его соотношение с a?