задача по гильбертовым пространствам

[ewert]

AGu в сообщении #714906 писал(а):

На мой взгляд, если изменение последовательности доказательств способно привести к упрощению доказательств, то это изменение тоже имеет свою «логику».

Но дело в том, что возня с бесселями как минимум не менее громоздка, чем доказательство теоремы о проекции в общем случае, и при этом в определённом смысле менее идейна. Между прочим, Треногин с компанией считают ровно так же. Обратите внимание, где у них находится теорема о проекции. Это -- самый последний пункт (и уже по этой причине ссылаться на неё в задаче, расположенной в середине списка, неуместно). И, между прочим, предпоследняя теорема (о достижимости минимума расстояний), на которую теорема о проекции и опирается, уж точно никаких рядов Фурье не предполагает.

[AGu]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #714915 писал(а):

Но дело в том, что возня с бесселями как минимум не менее громоздка, чем доказательство теоремы о проекции в общем случае, и при этом в определённом смысле менее идейна. Между прочим, Треногин с компанией считают ровно так же.

Не возражаю. Как бы то ни было, ТС уже, кажется, разобрался во всех мыслимых подходах и теперь способен сдать свое решение и разумному консерватору, и упоротому революционеру .

[ewert]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #714925 писал(а):

и теперь способен сдать свое решение и

Пока не совсем факт.

wronskian:

так что всё-таки насчёт комплексного случая?...

[wronskian]

ewert
Комплексный случай я не рассматривал, ибо не было необходимости.
Кстати да, в обратную сторону я тоже пробовал доказывать через Бесселя, но что-то застопорился и ушёл не в те дебри совсем.
Чисто из спортивного интереса, в чём будет особенность комплексного случая?

[ewert]

wronskian в сообщении #714945 писал(а):

в чём будет особенность комплексного случая?

В том, что $\|x-y\|^2\neq\|x\|^2-2(x,y)+\|y\|^2$. Т.е. не совсем равно, и с этим придётся бороться.

[TOTAL]

В комплексном случае взять $Re(x,y_0)>0, \;\; \lambda>0$

[ewert]

TOTAL в сообщении #714954 писал(а):

В комплексном случае взять $Re(x,y_0)>0, \;\; \lambda>0$

Первое не выйдет, второе не поможет.

[TOTAL]

ewert в сообщении #714958 писал(а):

TOTAL в сообщении #714954 писал(а):

В комплексном случае взять $Re(x,y_0)>0, \;\; \lambda>0$

Первое не выйдет, второе не поможет.

Если существует $y_1,$ для которого $(x, y_1) \ne 0,$ то не найдется $y_0,$ для которого $Re(x,y_0)>0$? Это не выйдет?

[ewert]

TOTAL в сообщении #714961 писал(а):

Это не выйдет?

Это уже выйдет, но это следовало сказать честно с самого начала. Нехорошо быть столь скрытным. А вот положительность лямбды вовсе ни к чему.

[TOTAL]

$\left\|x\right\|^2 \le \left\|x - \lambda y_0 \right\|^2 =\left\|x\right\|^2 -2\lambda(x,y_0) + \lambda^2 \left\|y_0\right\|^2$
$2(x,y_0) \le \lambda \left\|y_0\right\|^2$ - не может быть при малых $\lambda$

Так же и для комплексного случая.

[g______d]

К разговору о правомерности применения теорем о проекции и тому подобных: можно же их применять к подпространству, порожденному $x$ и $y_0$, тогда это должно быть фактом, уже известным из линейной алгебры. Хотя, наверное, полезнее еще раз доказать.

[ewert]

Ладно, вот как надо было. Неравенство $\|x-\lambda y\|^2=\|x\|^2-\lambda\cdot2\operatorname{Re}(x,y)+\lambda^2\|y\|^2\geqslant\|x\|^2$ выполнено, по предположению, для любого $y\in L$ и для любого $\lambda\in\mathbb R$. Однако для любого $\lambda$ оно выполняется лишь в том случае, когда $\operatorname{Re}(x,y)=0$ (иначе вершина параболы смещается в сторону и вниз). Если же предположить, что $(x,z)\neq0$ для хоть одного $z\in L$, то найдётся и $y\in L$, для которого $\operatorname{Re}(x,y)\neq0$ -- достаточно взять $y=e^{i\varphi}z$, где $\varphi=\arg(x,z)$ (тогда $\operatorname{Re}(x,y)=(x,y)=|(x,z)|$).

-- Ср апр 24, 2013 14:48:29 --

g______d в сообщении #714971 писал(а):

можно же их применять к подпространству, порожденному $x$ и $y_0$,

Это да, можно. Но, мне кажется, логика немножко удлинняется.