задача по гильбертовым пространствам

[wronskian]

Господа, не знаю на какой козе подъехать с какой стороны подойти. Задача 3.21 из Треногина, Соболевой по функану.

Доказать эквивалентность $\left\|x\right\| \leqslant \left\|x-y\right\| \forall y \in L$ тому, что $x \bot L, L - $подпространство гильбертова пространства $H$. Пробовал применить теорему Рисса о почти перпендикуляре, но там говорится, что "почти перпендикуляр" $y$ существует, а не $\forall y $. Подскажите пожалуйста, в какую сторону думать?

[g______d]

В одну сторону: если $x\perp y$, то как можно переписать $\|x-y\|^2$?

В другую сторону: если есть вектор $y_0\in L$, такой что $y_0\not\perp x$, то попробуйте придумать, как вычесть из $x$ вектор, кратный $y_0$, чтобы получилось меньше. Это на самом деле уже задача на плоскости.

[wronskian]

g______d
если $x \perp y$, то $\|x-y\|^2 = \left ( (x-y),(x-y) \right ) = (x,x) - 2(x,y) + (y,y) = (x,x) + (y,y) $. Далее $\|x-y\|=\sqrt{x^2+y^2}$, а значит и $\sqrt{x^2} \leqslant \sqrt{x^2+y^2}$. Я нигде не напутал?

[g______d]

wronskian в сообщении #714651 писал(а):

Я нигде не напутал?

Вроде бы нигде, хотя обычно пишут $\|x\|^2$, а не $x^2$.

[ewert]

В эту сторону тривиально и записывается короче -- это просто прямое следствие теоремы Пифагора: $\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$.

Не вполне тривиально обратное. Для обратного надо раскрыть скобки в $\|x-\gamma y\|^2$, где $\gamma$ -- числовой параметр и посмотреть, что и себя будет представлять минимум соответствующего квадратного трёхчлена по этому параметру. И ещё потом чуть-чуть подсуетиться, если пространство -- комплексное.

[TOTAL]

Для обратного в качестве $y$ взять ортогональную проекцию $x$ на $L$

[wronskian]

в обратную сторону:

пусть $\exists y_0 \in L: y_0 \not \perp x.$ Рассматриваю вектор $x-\lambda y_0$:

$\|x-\lambda y_0\|^2 = (x,x) - 2 \lambda (x,y) + \lambda^2 (y,y) \geqslant 0, \ \forall \lambda$ и $\|x-\lambda y_0\|^2 = 0 \Leftrightarrow D = (x,y_0) - (y_0,y_0)(x,x) = 0, $т.е. $x, y_0 - $линейно зависимы, далее получил, что $|(x,y_0)| = \|x\| \cdot \|y_0\|$

[AGu]

А к этому моменту уже можно пользоваться фактом существования ортопроекции? Если можно, то и в другую сторону тоже тривиально:

Итак, пусть $\|x\|\leqslant \|x-y\|$ для всех $y\in L$. Пoкажем, что ортопроекция $x$ на $L$ равна нулю (это и означает, что $x\perp L$). От противного. Допустим, $y\ne 0$, где $y$ -- ортопроекция $x$ на $L$. По определению ортопроекции мы имеем $x-y\perp L$. В частности, $x-y\perp y$. Но тогда $\|x\|^2=\|(x-y)+y\|^2=\|x-y\|^2+\|y\|^2>\|x-y\|^2$. Противоречие.

[wronskian]

g______d
ewert
TOTAL
AGu

Спасибо большое за ответы! Разобрался.

[ewert]

TOTAL в сообщении #714691 писал(а):

Для обратного в качестве $y$ взять ортогональную проекцию $x$ на $L$

AGu в сообщении #714693 писал(а):

А к этому моменту уже можно пользоваться фактом существования ортопроекции?

То-то и оно, что нельзя. Теорема о проекции -- факт существенно более тонкий и требует хоть и не очень сложных, но гораздо менее очевидных приёмов, чем тут уже упоминались. В частности, если здесь достаточно чисто алгебраических соображений, то там уже становятся принципиальными полнота и замкнутость. Т.е. это очень-очень следующий факт, подготовкой к которому и является эта задача.

wronskian в сообщении #714692 писал(а):

$\|x-\lambda y_0\|^2 = (x,x) - 2 \lambda (x,y) + \lambda^2 (y,y) \geqslant 0, \ \forall \lambda$ и $\|x-\lambda y_0\|^2 = 0 \Leftrightarrow D = (x,y_0) - (y_0,y_0)(x,x) = 0, $т.е. $x, y_0 - $линейно зависимы, далее получил, что $|(x,y_0)| = \|x\| \cdot \|y_0\|$

Ну типа того, с точностью до опечаток и вообще, на мой вкус, слова следовало бы произносить другие. Однако же комплексный случай требует всё-таки небольшого дополнительного ковыряния.

[wronskian]

ewert
А можно использовать факт существования проекции, если нам известно, что пространство $H$ допускает своё разложение в прямую сумму подпространств $L \bigoplus L^{\bot}$?
Тогда и $x = x' + x'', \ \forall x \in H, x' \in L, \ x'' \in L^{\bot}$.
Опечатки, к сожалению, слишком поздно заметил. Естественно там $y_0$ везде, не $y$.

[ewert]

wronskian в сообщении #714844 писал(а):

А можно использовать факт существования проекции, если нам известно, что пространство $H$ допускает своё разложение в прямую сумму подпространств $L \bigoplus L^{\bot}$?

А откуда нам это может быть известно, кроме как из теоремы о проекции?...

[AGu]

wronskian в сообщении #714844 писал(а):

А можно использовать факт существования проекции, если нам известно, что пространство $H$ допускает своё разложение в прямую сумму подпространств $L \bigoplus L^{\bot}$?

Я бы сказал — можно. В упомянутом ТС задачнике сначала приводятся некоторые определения и факты, а потом уже даются упражнения. Было бы странным запрещать использовать какие-либо факты в решении каких-либо упражнений, приведенных ниже формулировок этих фактов.

Кроме того, курсы бывают разные, с разной последовательностью доказательств классических теорем. Например, я почти сразу доказываю теорему о неравенстве Бесселя (с обоснованием существования суммы $\sum_i\langle x,e_i\rangle e_i$), а из нее почти даром следует тот факт, что существование ортопроекций на векторное подпространство равносильно замкнутости этого подпространства.

[ewert]

AGu в сообщении #714883 писал(а):

а из нее почти даром следует тот факт, что существование ортопроекций на векторное подпространство равносильно замкнутости этого подпространства.

Это неэстетично: это лишь в сепарабельном случае, в то время как теорема о проекции сепарабельности вовсе не требует. Но и даже через Бесселя/Парсеваля это чересчур громоздко и уж всяко логически позднее, чем тот факт, что минимизация расстояния эквивалентна ортогональности.

[AGu]

ewert в сообщении #714889 писал(а):

AGu в сообщении #714883 писал(а):

а из нее почти даром следует тот факт, что существование ортопроекций на векторное подпространство равносильно замкнутости этого подпространства.

Это неэстетично: это лишь в сепарабельном случае, в то время как теорема о проекции сепарабельности вовсе не требует.

О сепарабельности речи не было. В моем случае теорема о неравенстве Бесселя доказывается в общей постановке (там индексы $i$ не обязаны пробегать лишь счетное множество).

ewert в сообщении #714889 писал(а):

Но и даже через Бесселя/Парсеваля это чересчур громоздко и уж всяко логически позднее, чем тот факт, что минимизация расстояния эквивалентна ортогональности.

Понимаю, но это все же вкусовой момент. На мой взгляд, если изменение последовательности доказательств способно привести к упрощению доказательств, то это изменение тоже имеет свою «логику». Разумеется, я не настаиваю на этой точке зрения. Дань историческому развитию, здоровый консерватизм и т.п. — это нормально, ничего против не имею.