ТФКП. Сходимость ряда

[мат-ламер]

Докажите, что ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{z^n+z^{-n}}$ при $|z|<1$ и при $|z|>1$ сходится к разным голоморфным функциям. Задача из Шабата (начало третьей главы). Непонятно само условие. Что значит "к разным голоморфным функциям"? Разве нельзя задать функцию сходящимся рядом вне окружности, а окружность считать множеством особых точек? Может голоморфная функция должна задаваться на связной области? (В книге Шабата голоморфные функции определяются на открытых множествах без относительно связности.)

[ewert]

мат-ламер в сообщении #714506 писал(а):

Задача из Шабата (начало третьей главы).

А где конкретнее? Там все задачи сосредоточены в концах глав.

У Шабата встречаются небрежности в определениях, но ведь третья глава -- она про аналитические продолжения. А тут никаких двусмысленностей быть не может: само понятие продолжения подразумевает связность.

[мат-ламер]

ewert в сообщении #714512 писал(а):

А где конкретнее?

На моём бумажном издании 1985 г. Глава 3. Параграф 8. Стр. 158. Вторая страница главы. Третья глава про аналитические продолжения для аналитических функций. Здесь вопрос про голоморфные функции. Аналитические ещё не определены. (Извиняюсь, номер параграфа исправил).

[ewert]

мат-ламер в сообщении #714514 писал(а):

Глава 3. Параграф 8. Стр. 158. Вторая страница главы.

Этого я вообще не понимаю: 158-я страница находится где-то в середине и 3-й главы, и 8-го параграфа, и сам параграф -- средний в главе; как это страница может быть второй чего бы то ни было?...

С голоморфностью у него там действительно некоторая терминологическая путаница. Он в самом начале вводит понятие области (пар.1, п.2) как открытого связного множества -- и, наверное, не просто так вводит, а для дальнейшего использования. Однако потом определяет голоморфность (пар.2, п.6) на произвольном открытом множестве, после чего непринуждённо переходит к разговору о голоморфности именно на области. Скорее всего, он в определении голоморфности использовал термин "открытое множество" вместо "область" просто по рассеянности.

Или мы о разных книжках говорим? Я имею в виду "Введение в комплексный анализ" (года не знаю -- она у меня сейчас под рукой только в электронном виде).

[мат-ламер]

Спасибо за ответ.

ewert в сообщении #714525 писал(а):

Или мы о разных книжках говорим?

В электронной версии книги эту задачу не обнаружил. Это разные издания.

-- Вт апр 23, 2013 16:54:41 --

Открыл лекции Домрина и Сергеева. Голоморфность определяется для областей (открытых линейно-связных множеств).