Теорема Нётер и трансляции (КТП)

[pohius]

Не могу разобраться с выводом тензора энергии импульса с помощью теоремы Нётер и используя симметрию лагранжиана к трансляции системы координат.
$x'^{k} = x^k + \delta x^k$
Вопрос что такое вариация трансляции. Для того чтобы применить уравнение Эйлера-Лагранжа нам нужно чтобы вариация исчезала на границе области. Но трансляция (если вектор постоянный) будет также смещать границу области, то есть не будет являться вариацией. По этому к трансляции нельзя применить уравнение Эйлера-Лагранжа.

[Munin]

pohius в сообщении #714076 писал(а):

Вопрос что такое вариация трансляции.

Это не вариация, это просто малая добавка. Насколько малая, что всё в окрестности линейно.

[pohius]

Не.. чет не то.
Если смотреть Боголюбова параграф 2 пункт 1, то у него $\delta x^k$ именно вариация. В этом пункте он выводит теорему Нётер используя исчезновение вариации на границе. Потом он рассматривает частный случай преобразований координат - трансляцию.
Да, смотрел еще Райдера, у него также, у Вайнберга этого не нашел. Пескин делает по другому, он рассматривает изменение координат как изменение аргумента функции поля. Мне кажется такой подход самый "физичный", но к сожалению его вывод я не понял.

-- Пн апр 22, 2013 19:26:06 --

UPD. "вариация трансляции" - коряво выразился. "Вариация при трансляции" - так лучше.

[ИгорЪ]

Можно не на действии упираться, а на уровне лагранжианов мыслить т. Нетер. Пишешь дифференциал лагранжиана при требуемых сдвигах, он из двух членов и равен нулю. Один член заменяешь используя УД и получаешь полную производную от тока равную нулю.

[pohius]

Я вот тут нашел подробный вывод.

[Munin]

В общем, есть два варианта теоремы Нётер: с $\delta x^k=\mathrm{const}(x^k)$ и с $\delta x^k=\delta x^k(x^k).$ Я сначала отвечал про первый. Они дают разные утверждения теоремы. Но собственно, второй как-то больше относится к ОТО, так что не понимаю, зачем он тут.

[pohius]

Вобщем разобрался.
Действительно вы были правы с самого начала, что нет там никакой вариации. Просто есть инфинитезимальные преобразования координат. А вариационный принцип используется для вывода уравнения Эйлера-Лагранжа для поля. Там как раз при выводе используется равенство нулю вариаций поля на границе. И далее это уравнение применяется при выводе теоремы Нётер уже без всяких вариаций.

-- Вт апр 23, 2013 02:07:35 --

Причина моего недопонимания кроется в учебнике Райдера. В его выводе уравнения Эйлера-Лагранжа для поля $\phi$

Цитата:

Поле $\phi$ заполняет 4-мерную область $R$ в пространстве времени как это схематично изображено на рис. 3.3. В качестве изначальной и конечной пространственноподобных поверхностей можно взять временные срезы $t=t_1$ и $t=t_2$, которые образуют часть границы $\partial R$ области $R$. Рассмотрим теперь вариации как полевой переменной $\phi$ так и координат $x$. Эти вариации обращаются в нуль на границе $\partial R$:
$x^{\mu} \rightarrow x'^{\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu}$
$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) + \delta\phi(x)$

Зачем тов. Райдеру понадобилась вариация координат для меня загадка. И вообще что такое вариация координат и как она на границе исчезает. В других букварях вывод идет без вариации координат.

[Munin]

pohius в сообщении #714350 писал(а):

И вообще что такое вариация координат и как она на границе исчезает.

Это поясняется в учебниках по ОТО. Может быть, Райдер мостик к ОТО перекидывает?

[pohius]

Понятно. Спасибо.