Ковариантный / контравариантный вектор

[Munin]

Alex_J в сообщении #714070 писал(а):

Как правило, начинать нужно с понимания сути.
Как уже было кем-то сказано, не понимая смысла, прячутся за формулами.
Когда автор поймёт и осознает, чем различаются ко- и контра-

Поскольку суть здесь как раз есть определения, формулируемые в виде формул, иначе как пустословием это заявление трудно назвать.

[Alex_J]

Munin в сообщении #714151 писал(а):

Поскольку суть здесь как раз есть определения, формулируемые в виде формул, иначе как пустословием это заявление трудно назвать.

Неа. Формулы нужно ещё понимать. А можно зазубрить и за ними спрятаться. Вот, мол, суть, смотрите, икс да игрек.
А в чём всё-таки суть этих формул? Сможете ответить?

[Munin]

Alex_J в сообщении #714241 писал(а):

Неа. Формулы нужно ещё понимать.

Отказываясь от формул, понимать их нельзя.

Alex_J в сообщении #714241 писал(а):

А в чём всё-таки суть этих формул? Сможете ответить?

Суть формул - в формулах. Как это ни печально для тех, кто не хотят учиться, а хотят рассусоливать о "сути".

[Alex_J]

Munin, очень жаль, вам два.
Вы не сможете, к сожалению, никому объяснить материал, поскольку вы считаете, что люди сразу должны понимать формулы, и больше им ничего не нужно. Тогда не нужны были бы лекции и слова в учебниках. Одни формулы. Но такого не бывает. Педагогика вам в помощь.

А теперь - о сути формул.

Ковариантный вектор при преобразовании базиса - переходе к другой системе координат - преобразуется вместе с базисом и приобретает новые значения в старом базисе, но в новом остаются те же значения.

Контравариантный вектор наоборот остаётся в старом базисе самим собой, т.е. он "вморожен" в исходную сетку координат и обретает новые значения в новом базисе. Но с точки зрения нового базиса, преобразование координат такого вектора - обратное. Т.к. из нового базиса создаётся впечатление, будто все контравариантные вектора изменились по противоположному правилу.

Ковариантные векторы поворачиваются, растягиваются и смещаются вместе с базисом, сохраняя верность изменениям.
Контравариантные векторы - консервативны и остаются при старой сетке, поэтому в новой сетке их значения - новые. (Как в поговорке о тех, кто шёл в конце толпы, но когда толпа развернулась, они стали во главе её )

Теперь поймёт любой гуманитарий. А кто поймёт ваши формулы? Только посвящённый.

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #714338 писал(а):

Ковариантный вектор при преобразовании базиса - переходе к другой системе координат - преобразуется вместе с базисом и приобретает новые значения в старом базисе, но в новом остаются те же значения.

Контравариантный вектор наоборот остаётся в старом базисе самим собой, т.е. он "вморожен" в исходную сетку координат и обретает новые значения в новом базисе. Но с точки зрения нового базиса, преобразование координат такого вектора - обратное. Т.к. из нового базиса создаётся впечатление, будто все контравариантные вектора изменились по противоположному правилу.

Ковариантные векторы поворачиваются, растягиваются и смещаются вместе с базисом, сохраняя верность изменениям.
Контравариантные векторы - консервативны и остаются при старой сетке, поэтому в новой сетке их значения - новые. (Как в поговорке о тех, кто шёл в конце толпы, но когда толпа развернулась, они стали во главе её )

Это как раз пример очень вредного недопонимания.
И вектор, и ковектор - это геометрические объекты. Они сами никак не меняются от того, в какой системе координат мы на них смотрим. Но координаты вектора или ковектора зависят как от него самого, так и от системы координат, и потому меняются. Меняются они по разному, потому что у них разный смысл. Меняются они согласованно, одни с помощью прямой матрицы, другие с помощь.ю обратной, потому что они сопряжены - ковектор можно умножить на вектор и получить скаляр, который не должен зависеть от системы координат.

[Alex_J]

Или вот ещё пример: есть плоскость (бумага) с нарисованными осями координат, есть плёнка поверх неё с нарисованными такими же осями координат. И есть два нарисованных вектора: один на бумаге, второй на плёнке. Берём и как-то поворачиваем, переносим и линейно растягиваем-сжимаем плёнку. Теперь вектор, который был на бумаге, на плёнке стал иметь другие компоненты, причём такие, как если бы плёнка оставалась на месте, а бумагу повернули и перенесли в обратную сторону, сжали-растянули соответственно тоже наоборот. Это контравариантный вектор. Ковариантный же вектор - тот, который на плёнке. Он для сетки на бумаге изменился ровно так же, как координатная сетка плёнки. Также перенёсся и растянулся и повернулся. Это легко представить.

(Оффтоп)

А студенты мучаются от непонимания элементарных вещей просто потому, что преподаватели часто сами не способны объяснить бесконечные закорючки на доске простыми образами. Потому что что? Правильно. Либо не имеют таланта педагога, либо сами не понимают.

-- 23.04.2013, 01:29 --

Xaositect, хорошо, вы можете объяснить этот смысл и показать на реальном примере, как они меняются? Разжуйте это так же подробно и доступно для воображения.

И мы получим отличный шанс увидеть разницу между правильными неправильным пониманием, что поможет укрепить правильное понимание у читателей.

[Xaositect]

Попробую.

Вектор на плоскости - это путь, стрелка из начала. У него есть направление и длина.
\begin{tikzpicture} \draw[line width=2, ->] (0,0)--(2,1) node[above right] {$v$}; \draw[fill] (0,0) circle(2pt); \end{tikzpicture}

Ковектор(функционал) на плоскости тоже выделяет направление, но по-другому. Его можно представить себе как систему "верстовых прямых", отмеряющих, сколько мы прошли от начала в каком-то направлении
\begin{tikzpicture} \draw[line width=1,dashed] (-1,1)--(1,-1) node[below right]{$0$}; \draw[line width=1,dashed] (-1,2)--(2,-1) node[below right]{$1$}; \draw(0.5,0.5) node[circle,fill=white,inner sep=0]{$f$} \draw[line width=1,dashed] (0,2)--(2,0) node[below right]{$2$}; \draw[line width=1,dashed] (1,2)--(2,1) node[below right]{$3$}; \draw[line width=1,dashed] (-1,0)--(0,-1) node[below right]{$-1$}; \draw[fill] (0,0) circle(2pt); \end{tikzpicture}

Операция умножения вектора на ковектор - это определение того, сколько именно "верстовых прямых" мы прошли по стрелке
\begin{tikzpicture} \draw[line width=2, ->] (0,0)--(2,1) node[above right] {$\left<f,v\right> = 3$}; \draw[line width=1,dashed] (-1,1)--(2,-2) node[below right]{$0$}; \draw[line width=1,dashed] (-1,2)--(3,-2) node[below right]{$1$}; \draw[line width=1,dashed] (0,2)--(3,-1) node[below right]{$2$}; \draw[line width=1,dashed] (1,2)--(3,0) node[below right]{$3$}; \draw[line width=1,dashed] (-1,0)--(1,-2) node[below right]{$-1$}; \draw[fill] (0,0) circle(2pt); \end{tikzpicture}

Заметим, что все это мы сделали совсем без координат. И вектор, и ковектор - это объекты, которые есть сами по себе, координаты нужны только для того, чтобы их измерить. Координаты вектора определяются обычным образом - надо посмотреть, сколько мы прошли на север, а сколько - на восток:
\begin{tikzpicture} \draw[->] (-1,0)--(3,0) node[above]{$x$}; \draw[->] (0,-1)--(0,3) node[right]{$y$}; \draw(-0.1,1)--(0.1,1); \draw(1,-0.1)--(1,0.1); \draw[line width=2, ->] (0,0)--(2,1) node[above right] {$v = 2e_1 + e_2$}; \draw[dotted](0,1) node[left]{$1$}--(2,1); \draw[dotted](2,0) node[below]{$2$}--(2,1); \draw[fill] (0,0) circle(2pt); \end{tikzpicture}

Координаты ковектора - это отметки "верстовых прямых" на единицах осей.
\begin{tikzpicture} \draw[->] (-1,0)--(3,0) node[above]{$x$}; \draw[->] (0,-1)--(0,3) node[right]{$y$}; \draw(-0.1,1)--(0.1,1); \draw(1,-0.1)--(1,0.1); \draw[line width=1,dashed] (-1,1)--(1,-1) node[below right]{$0$}; \draw[line width=1,dashed] (-1,2)--(2,-1) node[below right]{$1$}; \draw(0.5,0.5) node[circle,fill=white,inner sep=0]{$f$} \draw(2,2.5) node[circle,fill=white,inner sep=0]{$f = e^1 + e^2$} \draw[line width=1,dashed] (0,2)--(2,0) node[below right]{$2$}; \draw[line width=1,dashed] (1,2)--(2,1) node[below right]{$3$}; \draw[line width=1,dashed] (-1,0)--(0,-1) node[below right]{$-1$}; \draw[dotted](0,1) node[fill=white,circle,inner sep=0,xshift=-5,yshift=5]{$1$}; \draw[dotted](1,0) node[fill=white,circle,inner sep=0,xshift=5,yshift=-5]{$1$}; \draw[fill] (0,0) circle(2pt); \end{tikzpicture}

Когда мы умножаем вектор на ковектор, мы можем представить и тот, и другой в координатах и перемножить соответствующие координаты - потому что координаты вектора показывают нам, сколько мы проехали на север и сколько на восток, а координаты ковектора - сколько "верстовых прямых" мы увидим на каждой единице северного направления, и сколько - на единице восточного

При переходе в другую систему координат координаты и векторов, и ковекторов меняются, потому что оси начинают проходить по-другому. Но результат умножения вектора на ковектор измениться не должен, он ведь совсем не зависит от того, в какую сторону показывает компас. Поэтому, если координаты вектора изменились каким-то образом, то координаты ковектора должны измениться так, чтобы это первое изменение нивелировать. Например, если мы увеличили единицу по горизонтали, то первая координата вектора уменьшится в два раза, а первая координата ковектора в два раза увеличится.

[Alex_J]

Xaositect
Замечательное объяснение скалярного произведения!
Видимо, при изменении базиса ковектор определяется через пересечение этими же "верстовыми линиями" новых осей координат?
А контравариантный вектор - через проекции на оси параллельными осям линиями.
Тогда всё становится понятно.

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #714441 писал(а):

Видимо, при изменении базиса ковектор определяется через пересечение этими же "верстовыми линиями" новых осей координат?

Да. Я попробовал нарисовать картинку с двумя системами координат, но получилось слишком много всего на одном изображении, решил ограничиться словами.

[AlexDem]

(Оффтоп)

Xaositect, а Вы в каком-то редакторе рисуете и переводите в TeX?

[Xaositect]

(Оффтоп)

AlexDem в сообщении #714453 писал(а):

Xaositect, а Вы в каком-то редакторе рисуете и переводите в TeX?

Нет, это я руками.

[Alex_J]

Xaositect
Я тоже нарисовал и тоже много всего, поэтому тоже словами.
Рисовать можно в линуксе в Geogebra. Очень удобно, можно соединить линии по условиям, шевелить точки и смотреть изменения.

[AlexDem]

Вот бы ещё из MS Visio можно было что-нибудь сохранять, или иметь подобный инструмент для TeX

[Александр Козачок]

Xaositect в сообщении #714449 писал(а):

Я попробовал нарисовать картинку с двумя системами координат, но получилось слишком много всего на одном изображении, решил ограничиться словами.

Глубокоуважаемый Xaositect!

Вы так замечательно все объясняете, что, я надеюсь, объясните словами и эту ситуацию:
1. Борисенко Тарапов на стр. 32 написали : «В прямоугольной декартовой системе координат …ковариантные и контрвариантные компоненты совпадают».
2. Кто-то когда-то внес дополнение в терминологию и ковариантный вектор начали сокращенно писать ковектор http://otvet.mail.ru/question/57794080
3. А вот Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. (Современная геометрия стр. 30-31, 1979), имея в виду именно такую же систему координат, отметили: «Мы привыкли говорить, что градиент числовой функции f(x1….xn) (например, для случая n=3 в декартовых координатах x1….xn – это вектор…. градиент функции при заменах координат преобразуется иначе, чем вектор. Такая величина будет ниже называться ковектором».
Таким образом, если считать, что согласно п.3, ковектор –это ковариантный вектор, то п.3 противоречит п.1, когда под заменой координат понимать только вращение прямоугольной декартовой системы координат. Или я ошибаюсь?

[ewert]

Александр Козачок в сообщении #714566 писал(а):

Таким образом, если считать, что согласно п.3, ковектор –это ковариантный вектор, то п.3 противоречит п.1, когда под заменой координат понимать только вращение прямоугольной декартовой системы координат.

Таким образом, если считать, что $\sqrt{a^2}=|a|$, то это утверждение противоречит тому, что $\sqrt{3^2}=3$.