Вращение двух точек

[nikvic]

anik в сообщении #714104 писал(а):

Но, что не центр эллипса - это наверняка, т.к. в этом случае мы получим двойную частоту колебаний по сравнению с частотой обращения.

Нет, голубчик, не даются Вам два гармонических колебания в противофазе на плоскости...

[anik]

Вот картинка для случая, когда ЦМ в центре эллипса.

В этом случае трактории двух точек совпадают. По этой картинке видно, что за один период обращения кратчайшее (или наибольшее) расстояние между точками возникают дважды. Таким образом за период обращения - два периода колебаний.
Но, мы ведь с самого начала установили, что частота колебаний равна частоте вращения.

[nikvic]

anik в сообщении #714126 писал(а):

По этой картинке видно, что за один период обращения кратчайшее (или наибольшее) расстояние между точками возникают дважды. Таким образом за период обращения - два периода колебаний.

Оказывается, Вы не знаете, что такое период..

[anik]

nikvic в сообщении #714130 писал(а):

Оказывается, Вы не знаете, что такое период..

Период - это промежуток времени, по прошедствии которого периодический процесс повторяется. Здесь мы имеем два периода - период колебаний и период обращения. Движение по траектории это результат сложения двух колебаний.

[Aritaborian]

anik, ответьте наконец, как вы собираетесь выбирать искомую точку, если она — не центр эллипса? Пусть не фокус, пусть другая. Но у вас в любом случае получатся два равноправных варианта, и вы не сможете предпочесть ни один из них. И? Симметрия...

(Оффтоп)

Отключаюсь от Сети на несколько часов, пусть другие вправляют вам мозг. Я уж не говорю о тех пробелах в ваших знаниях, на которые справедливо обратил внимание nikvic.

[anik]

Aritaborian в сообщении #714135 писал(а):

anik, ответьте наконец, как вы собираетесь выбирать искомую точку, если она — не центр эллипса? Пусть не фокус, пусть другая. Но у вас в любом случае получатся два равноправных варианта, и вы не сможете предпочесть ни один из них. И? Симметрия...

Вы этот вопрос адресуйте к Ньютону или Кеплеру. Какой из фокусов выбрать? Да любой, какой захотите, эллипс симметричен.

-- Пн апр 22, 2013 21:36:19 --

Вот если бы частота упругих колебаний была в 12 раз выше частоты обращения, мы бы имели уже не эллипс, а волнистую кривую, подобную той, по которой движется Земля с учётом возмущений Луны. Или не?

[nikvic]

anik в сообщении #714131 писал(а):

Период - это промежуток времени, по прошедствии которого периодический процесс повторяется.

Хех, покрасьте массы в два разных цвета

[anik]

nikvic в сообщении #714146 писал(а):

Хех, покрасьте массы в два разных цвета

Вы что, про Пасху вспомнили?

[dovlato]

А ведь действительно эллипс выходит! Чтобы убедиться в этом, разложим упругую силу и смещение шариков по координатным осям.
После чего, написав 2й закон, обретём нечто родное для икса

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2 x=0$$

Здесь $\omega_0^2=2k/m$. И аналогично для игрека.
Следовательно, обе переменные есть гармонические функции с одинаковой частотой $\omega_0$. Ну, и далее можно доказать, что это либо эллипс, либо - в вырожденном случае - отрезок прямой. А повозившись, посмотреть - играют ли тут какую-то роль фокусы эллипсов.

[dovlato]

Дожал таки. Возьмём момент, когда удаление шариков экстремальное.
Допустим, при $t=0$ скорость первого шарика равна $v_0$, и она направлена вдоль оси ОХ; его начальное положение $(0, -y_0)$.
Положим для второго шарика начальные скорость и положение такими же по величине, но противоположными по знаку: центр масс неподвижен, и постоянно находится в начале координат. Тогда для первого шарика имеем

$$x_1=\frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t$$

$$y_1=y_0\cos \omega_0 t$$

Для 2го шарика в любой момент времени выполняется $x_2=-x_1; y_2=-y_1$. Траектория обоих шариков одна и таже; её уравнение

$$\frac{x^2}{(v_0/\omega_0)^2}+\frac{y^2}{y_0^2}=1$$

То есть фокусы тут оказываются ни при чём.
Ну, а если массы шариков различные, то, очевидно, изменятся лишь линейные масштабы соосных подобных эллипсов; их размеры будут обратно пропорциональны массам.

[nikvic]

dovlato в сообщении #714181 писал(а):

А повозившись, посмотреть - играют ли тут какую-то роль фокусы эллипсов.

А что, линейное преобразование окружности не делает сразу всё?

[dovlato]

(Тупо): это как?

[nikvic]

dovlato в сообщении #714307 писал(а):

(Тупо): это как?

Решаем школьное - "две точки движутся по окружности, ...", а потом сжимаем, поворачиваем, сдвигаем - только эллипсы и получаются...
Как две гармоники с одинаковой частотой.

[dovlato]

Насчёт сжатия - мне как-то не понятно. То есть, после того как решение уже есть - тут конечно, видно. Но как эту возможность сжатия увидеть сразу? Вот например, у меня это было так. Я представил мат. маятник, который может отклоняться по иксу и игреку, рисуя овалы. Ну и далее стало понятно остальное на уже уровне уравнений.

[anik]

Вообще, я был неправ.
Дело в том, что между взаимодействием обратно пропорциональном квадрату расстояния и прямо пропорциональном расстоянию есть большая разница. И не могут эти два разных взаимодействия иметь совпадающие решения. Если в первом случае, при сближении точек взаимодействие усиливалось, что заставляло точки увеличивать угловую скорость в перигее, то во втором случае, при сближении точек взаимодействие наоборот, уменьшалось и точки "пролетали" это положение с минимальной кривизной траектории.
Уравнение эллипса в полярных координатах:

$$R=\frac{p}{1+e\cos\varphi}$$

Здесь полярный радиус $R$ подразумевает начало полярных координат, помещённый в фокус эллипса (левый). Полярный радиус проводится из этого фокуса. Такое представление хорошо подходит для анализа движения по законам Кеплера, т.к. ЦМ системы помещён в фокус эллипса, и система отсчёта связанная с ЦМ является инерциальной.
В случае взаимодействия по упругому закону, ЦМ системы следует поместить в центр эллипса, иначе, мы будем рассматривать движение не в ИСО. Но тогда нужно переписать уравнение эллипса для случая, когда полярный полюс помещён в центр эллипса.
Вообще, если колеблющемуся с малой амплитудой маятнику придать возущение (не в плоскости колебаний), то маятник начнёт описывать эллипс, центр которого совпадает с вертикалью, проходящей через точку подвеса (как правильно заметил dovlato)
Мне остаётся только извиняться и сожалеть.