предел двойной последовательности

[minecota]

Всем привет! Мне нужны разные определения пределов двойной последовательности. В частности $\lim_{m+n\rightarrow\infty\limits}x_{mn}=A$ . Если кто-то знает как доказать, что когда последняя граница существует, то двойная последовательность $x_{mn}$ не всегда ограничена, то тоже очень буду рад.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам: запись формул.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: не указана.

[Andrew Gubarev]

Последовательность $x_{m,n}$ имеет пределом число $A$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, что

$|x_{m,n}-A|<\varepsilon$ при $m>N$, $n>N.$

$\lim\limits_{x \to \infty, y \to \infty} x_{m,n}= +\infty$, если для любого $ \mathop{\mathrm E} > 0$ найдется такой номер $N$, что

$x_{m,n}> \mathop {\mathrm E}$, при $m>N$, $n>N.$

Аналогично дается определение стремления $x_{m,n}$ к $-\infty$.
Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

(Оффтоп)

На форуме требуется приводить попытки решения или известные теоретические сведения. Особенно в простых учебных задачах. См. topic3829.html. Да и просто никто не горит желанием переписывать определения из учебника.

[RIP]

Andrew Gubarev в сообщении #715397 писал(а):

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Для Вашего определения это неверно. Можно взять $x_{m,n}=\begin{cases}m,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}$

-- Чт 25.04.2013 16:17:19 --

Для предела по базе $m+n\to\infty$ такого примера, разумеется, нет, т.к. кол-во пар $m,n$ с $m+n<N$ всегда конечно (если $m,n\in\mathbb N$).

[Andrew Gubarev]

Да, заврался. Спасибо!