2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вещественные матрицы и кватернионы
Сообщение08.01.2006, 18:44 


17/11/05
14
Есть такая задача: найти подгруппу вещественных матриц изоморфную группе кватернионов.
То есть нужно найти биекцию, между некоторыми матрицами 4-го порядка и тремя кватернионными единицами. Очевидно, что единицей группы будет матрица:

1 \rightarrow 
\left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{array} \right)

Для кватернионных единиц выполнены тождества: i^2 = -1, j^2 = -1, k^2 = -1. Тогда, по-моему единственный разумный вид, в котором можно искать образы кватернионон это:

i \rightarrow 
\left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & i_1 \\
0 & 0 & i_2 & 0 \\
0 & i_3 & 0 & 0 \\
i_4 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right)

Для j и k по аналогии. НО должны выполняться и некоторые другие тождества, такие как: ji = -k, ij = k, kj = -i, jk = i \ldots И понятно, что после перемножения двух таких косодиагональных матриц получится матрица диагональная. То есть в таком виде невозможно найти образы базисных элементов. Вопрос в том, возможно ли это вообще и в каком виде стоит искать решение. Спасибо![/math]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.01.2006, 21:22 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Идея решения - делать i,j,k в виде матриц перестановок координатных векторов со сменой ориентации у двух векторов из четырех. Вроде так должно получиться:
$i=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0\\
-1&0&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&-1&0\end{pmatrix}$

$j=
\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&-1\\
-1&0&0&0\\
0&1&0&0\end{pmatrix}$

$k=
\begin{pmatrix}
0&0&0&-1\\
0&0&-1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0\end{pmatrix}$

Соотношения $i^2=j^2=k^2=-1, ij=k=-ji$ выполняются, остальные не проверял.

 Профиль  
                  
 
 Спасибо!
Сообщение10.01.2006, 15:44 


17/11/05
14
Очень разумный подход. Я совсем забыл, о геометрическом смысле кватернионов..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2006, 21:33 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Гм. Глядя на вашу задачу у меня невольно возникает ассоциация с присоединенным представлением...
Вот решил привести другой (возможно более громоздкий, но зато более наукоёмкий) способ решения.
Алгебра кватернионов $x_ax_b=C^f_{ab}x_{f}$ задается структурными коэффициентами (для $x_a=(1,i,j,k)$):
$C^1_{11}=C^2_{12}=C^3_{13}=C^4_{14}=1$
$C^2_{21}=C^4_{23}=1,\hspace{5mm} C^1_{22}=C^3_{24}=-1$
$C^3_{34}=C^2_{34}=1,\hspace{5mm} C^4_{32}=C^1_{33}=-1$
$C^4_{41}=C^3_{42}=1,\hspace{5mm} C^2_{43}=C^1_{44}=-1$
От сюда сразу находим присоеденённое представление $[x_a]_{fb}=C^f_{ab}$
Теперь осталось, только записать ответ:
$i=\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right), \hspace{5mm}
j=\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right), \hspace{5mm}
k=\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
$
Хотя многие (возможно) сочтут это стрельбой из пушки по воробьям =)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2006, 02:03 


14/01/06
2
Moscow, Russia
Привет!

Группа кватернионов порождает соответствующую 4-мерную групповую алгебру над полем R. Нужно рассмотреть ее как линейное пространство над R с базисом (1, i, j, k). Каждому элементу алгебры кватернионов будет однозначно соответствовать оператор умножения на этот элемент. Это - линейный оператор в указанном линейном пространстве, и он, естественно, однозначно представляется матрицей в том же базисе. Далее нужно просто рассмотреть матрицы, соответствующие операторам умножения на (1, i, j, k). Результат таков:

i =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & -1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 
\end{array} \right)

j =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 
\end{array} \right)

k =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right).

Все соотношения между операторами выполняются автоматически.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2006, 02:07 


14/01/06
2
Moscow, Russia
Sorry. Опечатка в знаке. На самом деле так:

i =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & -1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 
\end{array} \right)

j =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & -1 & 0 & 0 
\end{array} \right)

k =
\left( \begin{array}{cccс} 
0 & 0 & 0 & -1 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group