Вещественные матрицы и кватернионы

[dsacode]

Есть такая задача: найти подгруппу вещественных матриц изоморфную группе кватернионов.
То есть нужно найти биекцию, между некоторыми матрицами 4-го порядка и тремя кватернионными единицами. Очевидно, что единицей группы будет матрица:

1 \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

Для кватернионных единиц выполнены тождества: i^2 = -1, j^2 = -1, k^2 = -1. Тогда, по-моему единственный разумный вид, в котором можно искать образы кватернионон это:

i \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & i_1 \\ 0 & 0 & i_2 & 0 \\ 0 & i_3 & 0 & 0 \\ i_4 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Для j и k по аналогии. НО должны выполняться и некоторые другие тождества, такие как: ji = -k, ij = k, kj = -i, jk = i \ldots И понятно, что после перемножения двух таких косодиагональных матриц получится матрица диагональная. То есть в таком виде невозможно найти образы базисных элементов. Вопрос в том, возможно ли это вообще и в каком виде стоит искать решение. Спасибо![/math]

[Dan_Te]

Идея решения - делать i,j,k в виде матриц перестановок координатных векторов со сменой ориентации у двух векторов из четырех. Вроде так должно получиться:
$i= \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ -1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&-1&0\end{pmatrix}$

$j= \begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\end{pmatrix}$

$k= \begin{pmatrix} 0&0&0&-1\\ 0&0&-1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}$

Соотношения $i^2=j^2=k^2=-1, ij=k=-ji$ выполняются, остальные не проверял.

[dsacode]

Очень разумный подход. Я совсем забыл, о геометрическом смысле кватернионов..

[Аурелиано Буэндиа]

Гм. Глядя на вашу задачу у меня невольно возникает ассоциация с присоединенным представлением...
Вот решил привести другой (возможно более громоздкий, но зато более наукоёмкий) способ решения.
Алгебра кватернионов $x_ax_b=C^f_{ab}x_{f}$ задается структурными коэффициентами (для $x_a=(1,i,j,k)$):
$C^1_{11}=C^2_{12}=C^3_{13}=C^4_{14}=1$
$C^2_{21}=C^4_{23}=1,\hspace{5mm} C^1_{22}=C^3_{24}=-1$
$C^3_{34}=C^2_{34}=1,\hspace{5mm} C^4_{32}=C^1_{33}=-1$
$C^4_{41}=C^3_{42}=1,\hspace{5mm} C^2_{43}=C^1_{44}=-1$
От сюда сразу находим присоеденённое представление $[x_a]_{fb}=C^f_{ab}$
Теперь осталось, только записать ответ:
$i=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right), \hspace{5mm} j=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right), \hspace{5mm} k=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) $
Хотя многие (возможно) сочтут это стрельбой из пушки по воробьям =)

[Lexy]

Привет!

Группа кватернионов порождает соответствующую 4-мерную групповую алгебру над полем R. Нужно рассмотреть ее как линейное пространство над R с базисом (1, i, j, k). Каждому элементу алгебры кватернионов будет однозначно соответствовать оператор умножения на этот элемент. Это - линейный оператор в указанном линейном пространстве, и он, естественно, однозначно представляется матрицей в том же базисе. Далее нужно просто рассмотреть матрицы, соответствующие операторам умножения на (1, i, j, k). Результат таков:

i = \left( \begin{array}{cccс} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)

j = \left( \begin{array}{cccс} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)

k = \left( \begin{array}{cccс} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right).

Все соотношения между операторами выполняются автоматически.

[Lexy]

Sorry. Опечатка в знаке. На самом деле так:

i = \left( \begin{array}{cccс} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)

j = \left( \begin{array}{cccс} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right)

k = \left( \begin{array}{cccс} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right).