Показательное уравнение

[arqady]

Решите следующее уравнение.

$$7^x+5^x+2^x=2^{2x+1}+6^x$$

[gris]

Правую часть можно записать в виде суммы трёх экспонент с одинаковым показателем. Суммы оснований справа и слева равны. Два целых корня видны, и между ними и правее ничего больше нет, а вот что там далеко слева? Наверное, какое-то хитрое неравенство надо использовать.

[arqady]

gris, здесь имеется красивое рассуждение.

[gris]

Ясно, что имеется и красивое. От Вас разве чего другого дождёшься?

[hippie]

По неравенству Караматы. Набор (7; 5; 2) мажорирует набор (6; 4; 4).

Поэтому при $x<0$ и при $x>1$ (когда функция $a^x$ строго выпукла на отрезке [2; 7]) имеем $7^x+5^x+2^x > 6^x+4^x+4^x=2^{2x+1}+6^x.$
(На этих промежутках можно обойтись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.)

При $0<x<1$ (когда функция $a^x$ строго выпукла вверх на отрезке [2; 7]) имеем противоположное неравенство: $7^x+5^x+2^x < 6^x+4^x+4^x=2^{2x+1}+6^x.$

[ewert]

$\left(\frac76\right)^x+\left(\frac56\right)^x=2\cdot\left(\frac23\right)^x-\left(\frac13\right)^x+1.$

Левая часть выпукла вниз, и её точка минимума уж во всяком случае левее единички. Правая -- сначала выпукла вверх, а после своей точки перегиба уже убывает. Этого достаточно для того, чтобы утверждать: других корней, кроме этих двух, быть никак не может.

[arqady]

hippie в сообщении #713583 писал(а):

По неравенству Караматы. Набор (7; 5; 2) мажорирует набор (6; 4; 4).

Вот оно, что я имел в виду!
Вы применяете его, конечно, для функции $f(x)=x^{\alpha}$.

[ewert]

Я только не понимаю, почему элементарные и очевидные соображения менее красивы, чем требующие некоторой дополнительной теории.

[arqady]

ewert, Ваше решение хорошее, но оно, по-моему, более трудоёмкое.
А элементарные и очевидные соображения, если честно, я просто прозевал. Хотя можно было бы догадаться, что они, вообще говоря, должны быть.

[ewert]

arqady в сообщении #713816 писал(а):

Ваше решение хорошее, но оно, по-моему, более трудоёмкое.

Да там трудоёмкость вообще нулевая (во всяком случае, после деления на степень шестерки) -- достаточно просто нарисовать графики. Слева получилось нечто типа гиперболического косинуса, справа -- разность убывающих экспонент; оба графика вполне привычны.