Число различных элементов

[mihiv]

Группа $G=\mathbb {Z}_2\oplus \dots \oplus \mathbb {Z}_2$ ($n$ слагаемых), содержит $N=2^n$ элементов.
Пусть $s$ перестановка элементов $G$ такая, что $s(a_i)\ne a_i, i=1,\dots ,N$.
Доказать, что множество $t_i=s(a_i)+a_i, i=1,\dots , N$ содержит не более $N-2$ различных элементов группы $G$.

[hippie]

Вообще-то, формально нужно добавить условие $n>1.$

Указанное множество не может содержать нуля.
При $n>1$ сумма всех $t_i$ равна сумме всех элементов группы (нулю). Следовательно, если среди $t_i$ найдётся $N-1$ различных элементов, то $N$-ный элемент будет $N$-ным элементом группы. Т.е. среди $t_i$ встретится 0.

[mihiv]

Как я и предполагал, задача продержалась недолго.