Сумма ряда

[Vika_L]

Подскажите, пож-та, как найти сумму ряда
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac {n^2}{3^n}$.

Я знаю, что есть техника дифференцирования для этих целей, но не знаю, как ее применить.

[Nameless_2013]

$S_n=\sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{k^2}{3^k}$

$S_{n+1}=-\frac{1}{3}+\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{(k+1)^2}{3^{k+1}}$

1. Докажите, что ряд сходится (абсолютно).
2. Выделите $S_n$ из $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{(k+1)^2}{3^{k+1}}$ (там ещё будет сумма, которая вычисляется аналогично, а также ряд геометрической прогрессии).
3. Переходите к пределу: $\lim_{n \to \infty}S_n=\lim_{n \to \infty}S_{n+1}$.

[TOTAL]

Воспользуйтесь тем, что $(n+1)^2 - 2n^2 + (n-1)^2 =2$
(сведете к сумме геометрической прогрессии)

[Vika_L]

Спасибо! Первый подход понятен. Все получилось. Второй непонятен. Тождественно верное, но мне непонятно, как его применять.

[TOTAL]

Vika_L в сообщении #712611 писал(а):

Тождественно верное, но мне непонятно, как его применять.

$$S=\sum_{n=1}^\infty \frac {n^2}{(-3)^n}$$

Находите

$$S+2\cdot3\cdot S+3^2\cdot S= \cdots$$

[provincialka]

Vika_L в сообщении #712597 писал(а):

Подскажите, пож-та, как найти сумму ряда
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac {n^2}{3^n}$.

Я знаю, что есть техника дифференцирования для этих целей, но не знаю, как ее применить.

Если Вам нужно именно дифференцирование, введите $x$. Например, так: $x=-1/3$, $f(x)=\sum_{n=1}^\infty n^2x^n$. Чему в этих обозначениях равна искомая сумма?
Теперь можно интегрировать этот ряд (поделив его на $x$). Но легче использовать известные суммы:
$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$, это сумма геометрической прогрессии.
По свойствам степенного ряда ее можно дифференцировать почленно. Кроме того, сумму при необходимости можно умножить на $x$, чтобы степень была подходящей. Попробуйте!