Мультипликативное дифференцирование

[Alex_J]

Так я назвал то, что получается, если в определении производной заменить умножение-деление на степень-корень, а сложение-вычитание на умножение-деление.

Было

$$\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Стало

$$\frac{df}{dx}^*=\lim_{\Delta x\to 0}\sqrt[\Delta x]{\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}}$$

При $\Delta x\to 0$ отношение стремится к 1, но возведение в степень $\frac{1}{\Delta x}$ даёт некий конечный результат. Выкладки приводят к выражению (заодно вводим обозначение для мультипликативной производной)

$$f^{*}(x)=e^\frac{f'(x)}{f(x)}$$

Обыкновенные функции:
$(ax+b)^*=e^\frac{a}{ax+b}$
$(ax)^*=e^\frac{1}{x}$
$(x^a)^*=e^\frac{a}{x}$
$a^*=1$
$(a^x)^*=a$
$(\ln x)^*=e^\frac{1}{x \ln x}$
$(\sin x)^*=e^{\ctg x}$
$(\cos x)^*=e^{-\tg x}$
$(fg)^*=e^{\frac{f'}{f}+\frac{g'}{g}}$
$(\frac{f}{g})^*=\frac{e^\frac{f'}{f^2g}}{e^\frac{g'}{fg^2}}$
$(f(g(x)))^*=e^\frac{f'(g(x))g'(x)}{f(g(x))}$

Свойства в некоторых точках:
(как читать таблицу: например, при $f\to+0$ (f в первом столбце, к чему стремится - в первой строке), $f^*\to+\infty$ (на пересечении столбца "+0" и строки "f")
При этом соответственно другой компонент - числитель либо знаменатель в показателе экспоненты - должен в данной точке стремиться не к 0 и не к $\pm\infty$.

$$\begin{tabular}{c|c|c|c|c} f^* & -0 & +0 & -\infty & +\infty\\ \hline f & 0 & +\infty & 0 & 1\\ \hline f' & 1 & 1 & 0 & +\infty \end{tabular}$$

Так что здесь представлены не все особые случаи: когда сама дробь $\frac{f'(x)}{f(x)}$ стремится к одному из особых значений - по "инициативе" и числителя, и знаменателя. Эти случаи нужно исследовать особо.

Ну и задачка:
$g=f^*$
Решение:
$f(x)=Ce^{\int{\ln g(x) dx}}$

Например,
$e^{x^2}=f^*$
$f(x)=Ce^{\frac{x^3}{3}}$

Найдёте ещё интересные свойства и случаи - пишите

-- 17.04.2013, 03:18 --

Обратный процесс - мультипликативное интегрирование, очевидно, выглядит так:

$$\int^b\limits_a^*{f(x)^{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod_{i=0}^{n-1} f(\xi_i)^{\Delta x_i}$$

Перемножаются ооооочень близкие к единице величины по разбиению, ну и их всё больше по мере устремления ширины разбиения к нулю. Получаем нечто. ))

Получаем решение задачки из 1го сообщения темы с некоторыми изменениями, которые ещё нужно продумать (уж не $\frac{F(b)}{F(a)}$ ли, но это слишком простая аналогия, не может быть :) нужно проверить)

-- 17.04.2013, 03:21 --

Поведение этого "мультеграла" на пересечении нулей и прочие прелести нужно проверять, вычислять... всё впереди

-- 17.04.2013, 03:22 --

"Дифференциал" же и "дифференцирование" следует назвать не от difference, а от relation - "реляционал" и "реляционирование"...

[Ms-dos4]

Вы прямо открыли америку. Читайте хотя бы здесь
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_calculus

[Alex_J]

Ms-dos4
Ой. )

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #711348 писал(а):

"Дифференциал" же и "дифференцирование" следует назвать не от difference, а от relation - "реляционал" и "реляционирование"...

Кстати, relation - это не то отношение. Отношение в смысле отношение чисел - это quotient.

[arseniiv]

А я на эти штуки наткнулся с другого конца — через мультипликативный интеграл.

[epros]

Интересно, а есть ли в этом самом мультипликативном интеграле что-то действительно умное и ценное, с учётом того, что он есть всего лишь экспонента обычного интеграла от логарифма?

[Aritaborian]

Как говорит нам Вика, таких мультипликативных (и прочих не-ньютон-лейбницевских) анализов много, и некоторые из них полезны.

Wikipedia писал(а):

The geometric calculus is useful in biomedical image analysis.

[shwedka]

epros в сообщении #711632 писал(а):

Интересно, а есть ли в этом самом мультипликативном интеграле что-то действительно умное и ценное, с учётом того, что он есть всего лишь экспонента обычного интеграла от логарифма?

Все становится интересно и крайне нетривиально, когда речь заходит о мультипликативном интегрировании матричнозначных или операторнозначных функций. Очень хорошо об этом написано, например, в замечательной книге Далецкого и С. Крейна.

[Alex_J]

shwedka

а где ещё почитать об операторнозначных функциях? Хотя бы определение и примеры.
Дайте ссылки плиз.

[shwedka]

Alex_J в сообщении #711817 писал(а):

shwedka

а где ещё почитать об операторнозначных функциях? Хотя бы определение и примеры.
Дайте ссылки плиз.

А,что, Далецкий с Крейном уже прочитаны?
Посмотрите в http://slovarionline.ru/matematicheskaya_entsiklopediya/page/multiplikativnyiy_integral.3191/
А ввобще, мульт. интеграл решает операторный дифференциальные иравнения. Там и ищите.
H.H. Schaefer, "Linear differential equations and function spaces" , Acad. Press (1966)
S.G. Krein, "Linear differential equations in Banach space" , Transl. Math. Monogr. , 29 , Amer. Math. Soc. (1971) (Translated from Russian)
V. Barbu, "Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces" , Ed. Academici (1976)
J.K. Hale, L.T. Magalhes, W.M. Oliva, "An introduction to infinite dimensional dynamical systems" , Springer (1984)