Неопределённые интегралы

[Joe Black]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста способы как можно взять следующие интегралы:

$\int \frac{x^4}{1+x^2}\ d x$

$\int \frac{1}{1+\sin^2 x}\ d x$

$\int \frac{2x-5}{x^2-5x+7}\ d x$

[Bulinator]

Знаете что такое простые дроби?

[Joe Black]

Слышал про такие

[SpBTimes]

Joe Black в сообщении #710802 писал(а):

Слышал про такие

Они достаточно просты, чтобы в них хорошо ориентироваться. В чем загвоздка?
1) Вычтите единичку в числителе и добавьте
2) $t = \ctg(x)$
3) Чему равна производная знаменателя?

[Bulinator]

Сорри, ошибся термином. Имел ввиду "элементарные дроби". Если знаете, то вперед, если нет, то посмотрите в учебнике/интернете.

[Joe Black]

Вроде все сделал, но первый с ответом не сошёлся. Решал первый так: добавил и вычил $x^2$, затем разбил на две дроби и во второй добавил и вычил ${1}$, вроде так?

[ИСН]

Звучит похоже, но расплывчато как-то. Вы напишите формулами.

[Joe Black]

Да, на самом деле можно сразу прибавить и вычесть $1$ :

$\int \frac{x^4}{x^2+1} d x = \int \frac{x^4-1+1}{x^2+1} d x = \int \frac{(x^2-1)(x^2+1) +1}{x^2+1} d x = \int (x^2-1) d x + \int \frac{1}{1+x^2} d x = \frac{1}{3}x^3-x+\arctg(x)+c$

[SpBTimes]

да

[Joe Black]

Благодарю!