Команда знатоков в шляпах пытается угадать их цвет

[Shadow]

А нет, кажется можно чуточку улучшить: Семь игроков - 2 команды А и Б по 3 игрока и ...Вася. Стратегия:
команда Б играет тогда и только тогда, когда у Васи черная шляпа.
команда А играет тогда и только тогда, когда у Б выгрышная позиция и у Васи белая шляпа
Вася говорит "у меня белая шляпа", если у Б проигрышная позиция.

Варианты: (В - выгрышная позиция, П-проигрышная)
А Б Вася
------------
В В б - успех (играет А)
В В ч - успех (играет Б)
В П б - успех (играет Вася)
В П ч - провал (играет Б вся команда А чихает)
П В б - провал (играет А)
П В ч - успех (играет Б)
П П б - успех (играет Вася)
П П ч - провал

Получается вероятность $P=3/4+1/32$

В обще случае $p+(1-p)^2$

[Shadow]

Виноват, в общем случае $p+\frac 1 2 (1-p)^2$

[Shadow]

Ту же самую вероятность можно получить и при более простой, симетричной стратегии:
А играют только если видят выигрышную позицию и белую шляпу
Б играют только если видят выигрышную позицию и черную шляпу

Успех при В-В обеспечен.
При В-П команда в выигрышной позиции играть не будет, проигрышная может играть, а может и не играть в зависимости от шляпы Васи, поетому Вася говорит то, на что надеится. В половину случаев успех.
В варианте П-П Вася пробует угадать цвет своей шляпы

[worm2]

(Нашёл в английской Википедии задачу и ответ)

http://en.wikipedia.org/wiki/Hat_Puzzle#Ebert.27s_version_and_Hamming_codes (тема кандидатской диссертации )
Искомая вероятность равна $1-A000983(N)/2^N$ (не знаю как правильно скрестить теги [math] и [oeis], вот ссылка: A000983)

[мат-ламер]

Статья в Википедии начинается с более сложной постановки. Лишь в последнем параграфе рассматривается упрощённая постановка Эбберта (отвечают все одновременно). Я задачу прочёл в книге А. Шеня (Вероятность. Примеры и задачи). Книга для школьников. Для $n=3$ Шень выписывает явную статегию. Для произвольных $n$ Шень утверждает, что есть стратегия с вероятностью выигрыша $n/n+1$. Теория основана на кодах Хэмминга (коды, исправляющие ошибки).

[worm2]

Чистая стратегия с вероятностью $n/(n+1)$ возможна только для $n=2^k-1$ (совершенные коды Хэмминга). Хотя, может быть, всё таки возможна смешанная, достигающая этой границы? В Википедии этого нет.

Добавлено по некотором размышлении

Хотя нет. Пусть у нас несколько чистых стратегий, каждую из которых мы применяем со своей заданной вероятностью. Тогда, вроде бы, общая вероятность выигрыша будет равна взвешенной сумме вероятностей при каждой стратегии (с весами, равными заданным вероятностям), т.е. будет равна некоторому среднему. И увеличить её за эти пределы не представляется возможным. Нет ли в этом рассуждении ошибки?