Сердитое неравенство

[Sinoid]

Вышел на такое неравенство $\sigma_1^6-4\sigma_1^4\sigma_2+8\sigma_1^3\sigma_3+27\sigma_3^2\geq0$, где сигмы- основные симм. многочлены от трех положительных чисел, а как доказать? Знаю такие неравенства, как $8\sigma_1^3-27\sigma_1\sigma_2+27\sigma_3\geq0$, $2\sigma_1^3-7\sigma_1\sigma_2+9\sigma_3\geq0$, не считая простейших, а как их применить к этому случаю? А может, нужны какие другие?

[arqady]

Левая часть Вашего неравенства возратает оносительно $\sigma_3$.
Поэтому она дотигнет своего минимума, когда $\sigma_3$ достигнет своего минимума,
а это случится, когда две переменные из Ваших трёх равны между собой или когда $\sigma_3=0$.
Пусть переменные - $x$, $y$ и $z$.
Поскольку Ваше неравенство однородно, остаётся его проверить только в двух случаях:
1) $y=1$, $z=0$;
2) $y=z=1$,
что легко осуществить.

[Sinoid]

Спасибо.