mn и (m+1)(n+1) -- квадраты

[maxal]

Добавил в OEIS последовательность A212651.

[Руст]

Для любого n решением является $m=n$. следующим (но не всегда, при определенных условиях возможно ветвление и найтись решение $n<m<n(4n+3)^2$) решением является
$m=n(4n+3)^2$.
$nm=(4n^2+3n)^2$, $(n+1)(m+1)=(4n^2+5n+1)^2$.
На самом деле легко установить исключения. Пусть $f(n)=n(4n+3)^2$.
Уравнение симметрично относительно замены $(n,m)\to (m,n)$.
Рассмотрим уравнение типа Пелля

$$ny^2-(n+1)x^2=n(n+1),$$

Решением которого является $x=n,y=(n+1)$ и если $(x,y)$ решение, то $((2n+1)x+2ny, (2n+2)x+(2n+1)y)$ так же решение.
При заданном $n$ находятся значения $m=\frac{x^2}{n}$ по указанной рекурентной формуле. Если окажется, что $n$ само имеет вид такого решения в качестве $n=m(n_0)$.
Тогда взяв решение $(x(n_0),y(n_0))$ и следующую итерацию относительно $n_0$ получим решение для таких исключительных (относительно редких случаев), для которого выполняется
$n<m<n(4n+3)^2$.
Вообщем последовательность минимального $m>n$ для заданного $n$ легко вычисляется и не стоило заводить новую последовательность в OEIS.

[maxal]

Руст в сообщении #710138 писал(а):

Вообщем последовательность минимального $m>n$ для заданного $n$ легко вычисляется и не стоило заводить новую последовательность в OEIS.

Простоста вычислений не является основанием для невнесения последовательности в OEIS. Например, там есть даже последовательность натуральных чисел - чего уж проще, казалось бы.