теорема Кона. Коммутация

[r0ma]

Выделю в отдельную тему.
Так как так и не нашёл никакой литературы, начал разбираться по статье, которую нашёл. Ссылка вот:
http://tddft.org/TDDFT2004/PracticalSessions/papers/kohn_pr123.1242_1.pdf

На первой же странице заголовок Cyclotron Resonance. Он пишет уравнение на операторы:

$$\frac{d\hat{\mathbf P}}{dt}=\frac{i}{\hbar}\left[\hat{H}\ \hat{\mathbf P}\right].$$

Начинаю покомпонентно коммутировать.
Значит гамильтониан

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}\sum_i \hat {\mathbf p}^2_i +\sum_{i\,j}u(\mathbf r _i - \mathbf r _j),$$

где последний член электрон-электронное взаимодействие. Автор выбрал следующий импульс (в калибровке Ландау):

$$\hat{\mathbf P}_i=\hat{p}_{i\,x}\mathbf x ^0+\left( \hat{p}_{i\,y}+\frac{eH}{c}x_i\right)\,\mathbf y^0 + \hat{p}_{i\,z}\,\mathbf z^0$$

Над гамильтонианом ставлю шляпу, над магнитным полем - нет. К непониманию привести не должно. Надо прокоммутировать гамильтониан и импульс. Очевидно, что коммутатор с потенциальной энергией будет равен нулю, поэтому пот. энергию не имеет смысла учитывать при коммутации. Т.к. $\hat{p}^2$ и $\hat{p}_{x,\,z}$ коммутируют, то имеет смысл рассматривать только коммутацию импульса с "удлиннёной" y-компонентой квадрата импульса в гамильтониане. Поэтому, как я понимаю надо лишь прокоммутировать квадрат импульса (только удлинённую у-компоненту), который стоит в гамильтониане, и, собственно, сам импульс. Однако, когда я это проделал, я получил вовсе не то, что получено в статье под номером $(5)$. Вот мои расчёты (знак суммы с индексом i временно опустил: вряд ли это на что-то повлияет). Так же, кстати, очевидно, что смысл имеет коммутировать только x-компоненту импульса, потому что коммутаторы с у и z компонентой будут равны нулю.

$$[p^2\ p_x]\psi=\left(\left(\hat{p}_y +\frac{e}{c}Hx\right)^2\ \hat{p}_x -\hat{p}_x\ \left(\hat{p}_y +\frac{e}{c}Hx\right)^2\right)\psi=\text{раскрыл и подставил импульс}=$$

$$=\left(2i\hbar\frac{e^2}{c^2}H^2x+\hbar^2\frac e c H\partial _y\right)\psi$$

Что (после домножения на $\frac{i}{\hbar 2 m}$, конечно) не приводится к виду уравнения $(5)$. Как быть? Не пойму где ошибка.

[Oleger99]

По-моему, перед вторым слагаемым у вас пропала 2.

[r0ma]

Oleger99 в сообщении #704741 писал(а):

По-моему, перед вторым слагаемым у вас пропала 2.

Может быть, я не спорю, хотя я, если честно, не вижу, почему она должна появиться. Но не в этом дело. Численные коэффициенты - фиг с ними. Если что, перепроверю ещё раз. Проблему в том, что я не могу свести это к векторному произведению. Формула (5) такая:

$$\frac{d\mathbf P}{dt}=-\frac{e}{mc}\mathbf P\times \mathbf H.$$

Если расписывать х-компоненту в этом выражении (я как раз х-компоненту только и коммутировал), то будет

$$\frac{d P_x}{dt}=-\frac{e}{mc}\sum_i H\cdot (-i\hbar \partial _{y,\, i})\ \mathbf x^0,$$

что у меня очевидно не получается (напомню у магнитного поля $H$ есть только z-компонента).

[Munin]

А такая часть коммутатора, как $[p^2,(p_y+(e/c)Hx)],$ у вас куда делась?

[espe]

r0ma в сообщении #704747 писал(а):

Формула (5) такая:

$$\frac{d\mathbf P}{dt}=-\frac{e}{mc}\mathbf P\times \mathbf H.$$

Если расписывать х-компоненту в этом выражении (я как раз х-компоненту только и коммутировал), то будет

$$\frac{d P_x}{dt}=-\frac{e}{mc}\sum_i H\cdot (-i\hbar \partial _{y,\, i})\ \mathbf x^0,$$

Вы подставили в правую часть (5) "короткий импульс", а надо было подставить "длинный".

[r0ma]

Oleger99, Munin, espe, с коммутатором разобрался. Спасибо! Oleger99, я там и вправду где-то 2 потерял. Но это ничего. Перепроверю, найду.

[r0ma]

Иду дальше. Никак не могу понять, почему при помещение в электрическое поле добавочный член (пертрубация) есть

$$U=-\frac{e}{i\omega m}\mathscr E _ - P_+ e^{-i\omega t}?$$

Т.е. я это не понимаю в принципе. В статье не пояснена ни одна буква. Видимо, $\mathscr E$ --- это амплитуда электрического поля. Оно переменное (отсюда и экспонента в выражении). Не понимаю абсолютно, что значит индекс "минус" у $\mathscr E$. И с чего бы тут вдруг взяться $P_+$. И откуда множитель $-\frac{e}{i\omega m}$ (знаменатель с минусом - как будто проинтегрированное $\mathscr E _ - e^{-i\omega t}$). Вообще энергия, точнее, потенциал в гамильтониане должен быть что-то наподобие $eE x$, наверное, где $E = \mathscr E e^{-i\omega t}.$ Разве нет? Т.е. грубо говоря, мне тут вообще ничего не понятно...

[Munin]

r0ma в сообщении #706041 писал(а):

В статье не пояснена ни одна буква.

Добро пожаловать в оригинальные статьи по теорфизике. Буквы определены в первоисточниках, на которые статья ссылается. И может быть, даже не на первом уровне ссылок, а дальше.

Если не копаться, а "догадываться", то насколько я понимаю, дело в понятии "вращающееся микроволновое поле" - что бы это было? Как в нём электрическое поле соотносится с магнитным?

Индексы "плюс" и "минус" снизу выглядят жёстко привязанными к вращению в плоскости $(x,y).$

Ещё может сильно помочь чтение современных учебников и обзорных работ на ту же тему. Видим похожую формулу - сравниваем - сопоставляем обозначения - разбираемся в смысле обозначений.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #706143 писал(а):

Буквы определены в первоисточниках, на которые статья ссылается. И может быть, даже не на первом уровне ссылок, а дальше.

что делает статью нечитаемой

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #706194 писал(а):

что делает статью нечитаемой

На самом деле, нет. Все, для кого эта статья адресована, начитаны других статей, и эти обозначения у них "на слуху". Но этот контекст иногда меняется вместе с эпохой: введут новые обозначения, и забудут обычные старые.

[espe]

r0ma в сообщении #706041 писал(а):

Никак не могу понять, почему при помещение в электрическое поле добавочный член (пертрубация) есть

$$U=-\frac{e}{i\omega m}\mathscr E _ - P_+ e^{-i\omega t}?$$

Т.е. я это не понимаю в принципе.

См. ЛЛ-2, ф-ла (16.10). Не присматривался к деталям, но похоже у ЛЛ $P$ большое --- это $p$ маленькое в статье. Как я понимаю, $A^2$ отбрасывается как малая более высокого порядка.

r0ma в сообщении #706041 писал(а):

Не понимаю абсолютно, что значит индекс "минус" у $\mathscr E$. И с чего бы тут вдруг взяться $P_+$.

"минус" значит тоже самое, что и у $P$, $A_\pm\propto{}A_x\pm{}A_y$, $A_-\propto\frac{1}{i\omega}\mathscr{E}_-e^{-i\omega{}t}$. Как-то так, надеюсь в деталях разберётесь.

[r0ma]

Здравствуйте!
Возвращаясь к вопросу. Соотношение $(12)$, которое вызвало у меня непонимание я в итоге всё-таки получил. Теперь не могу разобраться со словами: "we see that perturbation $(12)$ connects the state $\Psi_0$ with, and only with, the state $\Psi _1$, so that there result a sharp absorption at the frequency $\omega=\omega_c$." То, что вот это возмущение связывает лишь $\Psi_0$ и $\Psi_1$я вроде как вижу (потому что в гамильтониане возмущения стоит $P_+$, а его коммутатор с гамильтонианом повышает энергию системы на $\hbar\omega_c$), но я не вижу почему при $\omega=\omega_c$ происходит сильное поглощение (т.е. сам циклотронный резонанс). Ведь для этого в знаменателе должна стоять разность $\omega-\omega_c$. А откуда это следует, я не вижу.

[Munin]

Рассмотрите сумму невозмущённого гамильтониана и возмущения - я так понимаю, при этой частоте они сравниваются по величине.

[r0ma]

Munin в сообщении #710229 писал(а):

Рассмотрите сумму невозмущённого гамильтониана и возмущения - я так понимаю, при этой частоте они сравниваются по величине.

Ну гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле такой:

$$\frac{(\mathbf p-\frac{e}{c}\mathbf A)^2}{2m}.$$

Сразу оговорюсь, магнитное поле как обычно по z, а электрическое циркулярно-поляризованное и перпендикулярно магнитному, т.е. имеет строго x, y-компоненты и $\mathbf E=-\frac{1}{c}\partial _t\mathbf A.$ Или (раскрывая скобки):

$$\frac{1}{2m}\left(p^2+\frac{e^2}{c^2}A^2\right)-\left(\frac{e\mathbf p}{mc}\mathbf A\right)$$

Вот самое последнее слагаемое - это и есть гамильтониан взаимодействия частицы с полем (то есть это и есть соотношение $(12)$, которое я получил). Теперь, если Вы говорите, что они [т.е. первая пара слагаемых и последнее слагаемое (взаимодействие)] совпадут по величине, то гамильтониан станет нулём, да? И тогда энергия в бесконечность что ль уйдёт (собственное число гамильтониана)? Я правильно Вас понять пытаюсь?

[Munin]

Я потерял нить... вы пишете суммарный гамильтониан, а не невозмущённый...