Захотелось мне найти их число в

для произвольного

. Ответ я получил, но далеко не удовлетворительный. Может быть, есть более простые подходы и более изящные формулы для вычисления этого числа? Возможно, в мои рассуждения закралась ошибка. Рассуждал я следующим образом:
Широко известно, что подстановки сопряжены тогда и только тогда, когда совпадают их цикловые типы, т.е. совпадают соответствующие им диаграммы Юнга. Поэтому нам достаточно посчитать количество диаграмм Юнга веса

(в диаграмме Юнга в каждой нижеследующей строке количество клеток не менее, чем в предыдущей).
Найдем количество

диаграмм Юнга, в которых нет одноклеточных строчек,

- одна одноклеточная строка,

- две и т.д.
Ответом будет число

(

, кстати, равно

и соответствует здесь лишь тождественная подстановка). Понятно, что

есть число подстановок, фиксирующих

точек. Итак, вычисляем

.
Вычислим число

подстановок без неподвижных точек (т.н. беспорядков), оно равно, как известно

. Становится понятно, что число

подстановок, фиксирующих ровно

точек, равно

.
Число беспорядков, кстати, это ближайшее целое к

, где

- замечательный предел (или как там его?), так что число

и

считаются несложно.
Есть ли более короткие пути? Формула Бернсайда для перечисления орбит тоже ничего хорошего, на мой взгляд, не дает.