ОТО в трехмерных обозначениях

[Bulinator]

Я тут пытался расписать действие ОТО и уравнения Эйнштейна в трехмерных обозначениях, т.е. в терминах метрики трехмерного пространства с метрикой $g_{ij}$, трехмерным вектором $g^i$ и трехмерным скаляром $h$:

$$g_{ij}=-G_{ij}+\frac{G_{0i}G_{0j}}{G_{00}},\quad g^i=-G^{0i},\quad h=G_{00},\quad i,j=1,2,3$$

Тут $G_{\mu\nu}$- метрика пространства-времени.

Посмотрел в Ландафшице- там только для статического поля посчитано. Считать самому очень долго, нудно и опасно. Есть ли где-нибудь все посчитанное в этих обозначениях?

[Утундрий]

Bulinator в сообщении #709365 писал(а):

Посмотрел в Ландафшице- там только для статического поля посчитано.

Там же есть ссылка на Зельманова.

[espe]

Bulinator в сообщении #709365 писал(а):

Я тут пытался расписать действие ОТО и уравнения Эйнштейна в трехмерных обозначениях ...

Считать самому очень долго, нудно и опасно. Есть ли где-нибудь все посчитанное в этих обозначениях?

Например здесь http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0405109v1.pdf (начиная с раздела 3.2) или здесь http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism

[SergeyGubanov]

Я вычислял это вот для такой метрики:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right)$$

$$g^{0 0} = 1, \quad g^{0 i} = \frac{1}{c} V^i, \quad g^{i j} = \frac{1}{c^2} V^i V^j - \gamma^{i j}$$

$$g_{0 0} = 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} V^i V^j, \quad g_{0 i} = \frac{1}{c} \gamma_{i j} V^j, \quad g_{i j} = - \gamma_{i j}$$

$$\sqrt{-g} = \sqrt{\gamma}$$

Четырёхмерная кривизна:

$$ - \frac{c^2}{2} R_4 = \frac{c^2}{2} R_3 - \frac{3}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} \frac{\partial \gamma_{ik}}{\partial t} \frac{\partial \gamma_{jl}}{\partial t} + \frac{1}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial t} \frac{\partial \gamma_{kl}}{\partial t} $$

$$ + \frac{1}{2} \gamma^{ij} \frac{\partial^2 \gamma_{ij}}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 V^i}{\partial t \partial x^i} + \gamma^{ij} V^k \frac{\partial^2 \gamma_{ij}}{\partial t \partial x^k} $$

$$ + V^i \frac{\partial^2 V^j}{\partial x^i \partial x^j} + \frac{1}{4} \frac{\partial V^i}{\partial x^j} \frac{\partial V^j}{\partial x^i} + \frac{1}{2} \frac{\partial V^i}{\partial x^i} \frac{\partial V^j}{\partial x^j} $$

$$ + \frac{1}{2} \gamma^{jk} \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial t} \frac{\partial V^i}{\partial x^k} + \frac{1}{2} \gamma^{ij} \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial t} \frac{\partial V^k}{\partial x^k} + \frac{1}{2} \gamma^{ij} \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^k} \frac{\partial V^k}{\partial t} $$

$$ + \frac{1}{2} \gamma^{ij} V^k V^l \frac{\partial^2 \gamma_{ij}}{\partial x^k \partial x^l} + \frac{1}{2} \gamma^{jl} V^k \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^k} \frac{\partial V^i}{\partial x^l} $$

$$ + \frac{1}{4} \gamma_{ij} \gamma^{kl} \frac{\partial V^i}{\partial x^k} \frac{\partial V^j}{\partial x^l} + \frac{1}{2} \gamma^{ij} V^k \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^k} \frac{\partial V^l}{\partial x^l} + \frac{1}{2} \gamma^{ij} V^k \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^l} \frac{\partial V^l}{\partial x^k} $$

$$ + \frac{1}{4} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^m} \frac{\partial \gamma_{kl}}{\partial t} - \frac{3}{4} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m \frac{\partial \gamma_{ik}}{\partial x^m} \frac{\partial \gamma_{jl}}{\partial t} $$

$$ - \frac{3}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m V^n \frac{\partial \gamma_{ik}}{\partial x^m} \frac{\partial \gamma_{jl}}{\partial x^n} + \frac{1}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m V^n \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^m} \frac{\partial \gamma_{kl}}{\partial x^n} $$

Используя определение инвариантной производной по времени:

$$D_t \gamma_{i j} = \partial_t \gamma_{i j} + \nabla_i V_j + \nabla_j V_i$$

(здесь $\nabla_i$ трёхмерная ковариантная производная) всё вышеизложенное громадьё схлопывается в одну строчку:

$$ - \frac{c^2}{2} R_4 = \frac{1}{8} \left( \gamma^{ik}\gamma^{jl} - \gamma^{ij}\gamma^{kl} \right) D_t \gamma_{ij} D_t \gamma_{kl} + \frac{c^2}{2} R_3 + \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\gamma}} D_t \left( \sqrt{\gamma} \, \gamma^{ij} D_t \gamma_{ij} \right), $$

здесь $R_3$ - трёхмерная кривизна вычисленная по трёхмерной метрике $\gamma_{i j}$.

[Bulinator]

espe, SergeyGubanov, спасибо большое.