Преобразование Фурье и дельта-функция

[cls]

Как доказать, не используя свойств преобразования Фурье, данное равенство?

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} dx = 2\pi \delta(\omega)$$

Я доказал 2мя способами:
- собственно через преобразование Фурье дельта-функции
- расписав несобственный интеграл по определению и взяв его

Преподаватель предложил третий способ:

$$ \lim_{\mu\to0}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x-\mu x^2} dx$$

Как называется такой способ и где про него можно почитать? Если почитать негде, то какой примерно следующий шаг? Я склюняюсь к замене переменной, но вот мнимая единица смущает :)

Deggial: формулы поправил

[ИСН]

Вы про дельтаобразные последовательности слышали, например?

-- Пт, 2013-04-12, 18:31 --

Мнимая единица пусть не смущает. Старшина сказал "можно".

[cls]

Слышал. Так что за метод и где почитать?

[ИСН]

Да нет никакого метода. Берём функции, всё более похожие на константу. Тогда их фурье-образы делаются всё более похожими на дельту.

[cls]

Я не про это. Я про тот метод, что мне предложил преподаватель. Меня интересует именно он. Есть что в нём Вам знакомое?

[ИСН]

Я именно про него и говорил.

[cls]

Допустим. Так как развить ту идею, которую мне дал преподаватель?

[ИСН]

Вы этот интеграл взяли?

-- Пт, 2013-04-12, 23:02 --

И как? Чему равен?

[cls]

О чём и речь, что не совсем ясно, как брать. Если выделять полный квадрат из показателя, то там в квадрате будет комплексное число. При переходе к новой переменной интеграл уже получается по комплексной переменной.

[ИСН]

Ну и что?

[armez]

Это - введение множителя сходимости (в данном случае - $e^{-\mu x^2}$, бывают удобны множители типа $e^{- \mu \mid x \mid}$ и т.п.). Можно рассмотреть интеграл в комплексной области по подходящему прямоугольнику, одна сторона которого - отрезок вещественной оси [-A;A], и перейти к пределу при $А \to +\infty .$ После выделения полного квадрата получится соотношение между интегралами по двум сторонам прямоугольника. Интегралы по другим двум сторонам будут стремиться к нулю. Интегральная теорема Коши даст уравнение, из которого можно будет найти интеграл.