Диффура 1 порядка и 2 const

[GlazkovD]

По определению: Общее решение дифференциального уравнения 1 порядка задается формулой y=$\phi$(x,C), заключающей одно произвольное постоянное

Тут решал дифференциальное уравнение и обнаружил, что в дифференциальном уравнении первого порядка "в разных местах" могут быть разные произвольные постоянные. В данном случае у меня их две.

МОЕ РЕШЕНИЕ

y'+y=$e ^{-x}$-искомое уравнение
Оно линейное неоднородное.
Это равнение вида y'+p(x)y=f(x)
В случае искомого уравнения p(x)=1=$x ^{0}$- если уж говорить что единица это функция от x

Мое общее решение линейного уравнения таково:
Воспользовался формулой
(1)

По определению неопределенного интеграла это выглядит так

$$\int p(x) dx$$

=P(x)+C1 где P(x) первообразная p(x)
Поэтому при подсчете выражения 1 я распишу этот простейший интеграл по этому правилу.(С константой C1)

Вот что получаю


Получается что у нас 2 константы, имеющие право на существование.
А как же определение диффуравнения ? Помогите разобраться, если не лень.

[Lion]

В данном случае интегралы не совсем неопределенные, константа $C_1$ уже запрятана в $C$.

[GlazkovD]

как понять не совсем неопределенные.
Константа C1 может отличаться от константы С и при этом равенство будет выполняться.
Желательно об этом по подробнее, если можно.
А то арифметически невижу как эту C1 можно спустить вниз что бы ее поглатила C

И еще 2 вопроса.
Если я так запишу C1 и C как сдесь. Т.е 2 константы, будет ли считаться преподом это решение ошибочным ?
И допустим еще другая ситуация.
Я все эти неопределенный интегралы после взятия буду писать в виде ПЕРВООБРАЗНАЯ+const
В результате решения диффура у меня получится много разных констант, при подстановке полученной функции(решение диффура) в искомое выражение образуется тождество.
Будет ли это множество констант считаться ошибкой ?

[GlazkovD]

Добавлено спустя 2 часа 1 минуту 17 секунд:

Сорри. Кажется разобрался. Всетаки одна константа.
Надо было мне в школе арифметику учить, а не водку с пивом в лесу глушить.

x$e ^{-x}$+C1*$e ^{-x-C2}$
это же x$e ^{-x}$+C1*$e ^{-x}/{($e ^{C2}$)}

А {1/($e ^{C2}$)} это постоянная величина и перемножаясь с C1 они сливаются в одну постоянную величину.

Добавлено спустя 17 минут 55 секунд:

-------------------------------------------------------------
Остался у меня пока один активный вопрос.
Не будет ли считаться следующая запись ошибкой.
В диффурах обычно так пишут.
y=

$$\int_{}^{} f(x) dx$$

+C
Если я буду считать интеграл неопределенным, и буду его в решениях разворачивать так.

y=

$$\int_{}^{} f(x) dx$$

+C= (1)
=F(X)+C1+C=F(x)+C
Т.е разворачивать интеграл с константой а затем "сливать" константы.
(Константу получившуюся при развороте интеграла, и константу которая
стояла ранее(по форме записи в выражении 1))

[Lion]

GlazkovD писал(а):

Остался у меня пока один активный вопрос.
Не будет ли считаться следующая запись ошибкой.
В диффурах обычно так пишут.
y=

$$\int_{}^{} f(x) dx$$

+C
Если я буду считать интеграл неопределенным, и буду его в решениях разворачивать так.

y=

$$\int_{}^{} f(x) dx$$

+C= (1)
=F(X)+C1+C=F(x)+C
Т.е разворачивать интеграл с константой а затем "сливать" константы.
(Константу получившуюся при развороте интеграла, и константу которая
стояла ранее(по форме записи в выражении 1))

Не будет, только лучше обозначать константы по-разному, а то получается, что $C_1=0$.