Команда знатоков в шляпах пытается угадать их цвет

[мат-ламер]

Команда знатоков играет в следующую игру. На каждом знатоке шляпа чёрного или белого цвета (с равной вероятностью, независимо друг от друга). Свою шляпу знаток не видит, но видит чужие. Он сдаёт записку, на котором может указать цвет своей шляпы или сообщить об отказе от ответа. Чужие записки никто не видит. Советоваться запрещено. Команда вигрывает, если никто не ошибся и хотя бы один знаток правильно угадает цвет своей шляпы. Как знатокам оптимизировать свою стратегию, чтобы максимизировать шансы на выигрыш?
--
Добавлено. Записки сдаются одновременно.

[TOTAL]

Первый называет любой цвет, остальные отказываются от ответа.

[Aritaborian]

По-вашему, TOTAL, максимальная вероятность равна одной второй? Не думаю, что всё так скучно просто.

[Bulinator]

ПРосто один из них(избранный!) может посчитать кол-во, например, черных шляп и, если оно четное, то откажется от ответа, если нет отдаст свою записку. Второй, увидев это и тоже посчитав кол-во черных шляпок сразу же скажет цвет своей.

[TOTAL]

Bulinator в сообщении #709127 писал(а):

Второй, увидев это и тоже посчитав кол-во черных шляпок сразу же скажет цвет своей.

Я понял, что условие запрещает им видеть хоть что-нибудь друг о друге, никаких совещаний!

[Bulinator]

Вернее так: если кто-то насчитал четное кол-во черных, он отказывается от ответа. Ну а далее по тексту.

TOTAL в сообщении #709128 писал(а):

никаких совещаний

Так это ж не совещание.

[мат-ламер]

Записки сдаются одновременно.

[TOTAL]

Bulinator в сообщении #709133 писал(а):

Так это ж не совещание.

Первый демонстративно заявляет, что отвечать не будет, что означает, что на оставшихся четное количество черных шляп. И это не совещание?

Никто не знает даже, ответил его сосед или сдал пустую записку. Так?

[lena7]

Если никто не знает ответа другого, а цвет знатока выбирается случайно и не зависит от остальных, то задача сводится к выбору того, сколько должны сказать произвольный цвет наугад, а сколько отказаться от ответа. Тогда, очевидно, наибольшая вероятность выиграть будет, если цвет назовёт только один. Приходим к ответу TOTAL.

[мат-ламер]

lena7
Если Вам всё очевидно, то попробуйте разобрать случай $n=3$. Для него всевозможные стратегии можно исследовать простым перебором.

[lena7]

мат-ламер
А что там разбирать? Нет разницы между тем, назвать знатоку черный цвет или белый, ибо он даётся знатоку случайно и не зависит* от остальных. А если так, то есть три случая: (1) один называет цвет, два других молчат; (2) два называют цвет, один молчит; (3) все молчат. Вероятности выиграть сооветственно $1/2,~1/4,~0$.

_____________
* Эта независимость выбора цвета автоматически нейтрализует полезность видения знатоком цветов шляп других знатоков. Вы уверены, что верно написали условие?

[venco]

Ага, для двух можно выиграть с вероятностью $3\over 4$.

-- Пт апр 12, 2013 12:38:50 --

lena7, ваша ошибка в том, что ошибки знатоков можно сконцентрировать в малом количестве ситуаций.
Т.е. каждый из них ошибается с вероятностью половина, но все вместе они выигрывают с вероятностью больше половины.

[lena7]

venco
Можете написать, как у вас получилось $3/4$? У меня получается не более $1/2$, как ни крути.

[TOTAL]

lena7 в сообщении #709166 писал(а):

venco
Можете написать, как у вас получилось $3/4$? У меня получается не более $1/2$, как ни крути.

Правило для каждого из трех: если видишь разные цвета, то молчишь; если видишь одинаковые цвета, то называешь противоположный.

[мат-ламер]

TOTAL в сообщении #709183 писал(а):

Правило для каждого из трех: если видишь разные цвета, то молчишь; если видишь одинаковые цвета, то называешь противоположный.

Правильно. Для $n=3$ имеем стратегию, дающую вероятность победы $3/4$.