Спасти чёрный квадрат.

[Батороев]

Ontt в сообщении #708066 писал(а):

Если принять сторону квадрата за единицу, то
$x_E= \frac {BJ} {BC} = \frac {AK}{AD}$
$y_E= \frac {BH} {AB} = \frac {CI}{CD}$

На мой взгляд (довольно беглый и поверхностный), отношения не помогут. В противном случае и $AF$ смог бы поиметь некий конкретный размер, на самом деле в пространстве являясь бесконечной величиной.

[Ontt]

TOTAL в сообщении #708905 писал(а):

С помощью циркуля и линейки проведите прямую параллельно $OF.$ Сторона параллелограмма лежит на этой прямой.

Построил прямую $A'B'$, параллельную $OF$, и пересекающую прямые $A, B$, в точках $A', B'$. Как с помощью линейки и циркуля точно построить $C'D'$? У меня получается примерно подобрать положение $C'D'$, так, чтобы $A'B'C'D'$ стал параллелограммом, но это не строгое построение.
Кроме того, не понятно, зачем нужно строить $A'B'$, параллельную $OF$, если параллелограмм можно подобрать для произвольной $A'B'$?
Я думал, что как-то поможет это:

TOTAL в сообщении #708096 писал(а):

(стороны параллелограмма параллельны $OF$ и $OG$)

но, если я строю мне $A'B'$, параллельную $OF$, то $B'C'$ и $A'D'$ у меня не получаются параллельными $OG$.

Батороев в сообщении #708947 писал(а):

На мой взгляд (довольно беглый и поверхностный), отношения не помогут.

Вы совершенно правы. Это была моя ошибка.
Тем более, что задачу можно решить исключительно построением.

[TOTAL]

Ontt в сообщении #708954 писал(а):

Кроме того, не понятно, зачем нужно строить $A'B'$, параллельную $OF$, если параллелограмм можно подобрать для произвольной $A'B'$?

Для того, чтобы $B'C'$ было параллельно $OG$

[Батороев]

Решение TOTAL откровенно понравилось.

[Ontt]

TOTAL в сообщении #708959 писал(а):

Для того, чтобы $B'C'$ было параллельно $OG$

Но тогда получается абсурд:

Куда отображать $E$?

[TOTAL]

Ontt в сообщении #708967 писал(а):

Куда отображать $E$?

Кто такая $E$? Уберите лишние линии, а то пойдете отображать эту $E$ и глаз проколете об одну из линий.

[Ontt]

TOTAL в сообщении #708971 писал(а):

Кто такая $E$?

$E$ - отображение мухи на фотографии в четырехугольнике $ABCD$. На рисунке выше дан четырехугольник, дана точка, изображающая муху, по Вашей методике построен параллелограмм со сторонами, параллельными $OF$ и $OG$. Как найти теперь $E'$?

[TOTAL]

Ontt в сообщении #708975 писал(а):

TOTAL в сообщении #708971 писал(а):

Кто такая $E$?

$E$ - отображение мухи на фотографии в четырехугольнике $ABCD$. На рисунке выше дан четырехугольник, дана точка, изображающая муху, по Вашей методике построен параллелограмм со сторонами, параллельными $OF$ и $OG$. Как найти теперь $E'$?

В четырехугольнике $ABCD$ через $E$ проведите две прямые до пересечения с границей $ABCD.$ Эти четыре точки пересечения отобразите на границу параллелограмм (проведя прямую через каждую точку и т.$O.$) Теперь $E'$ находится как точка пересечения двух прямых.

[Ontt]

TOTAL в сообщении #708977 писал(а):

В четырехугольнике $ABCD$ через $E$ проведите две прямые до пересечения с границей $ABCD.$ Эти четыре точки пересечения отобразите на границу параллелограмм (проведя прямую через каждую точку и т.$O.$)

Провожу через точку $E$ прямую, (для определенности) параллельную $OG$. Получаю точки $K, L$пересечения $OG$ с $AD$ и $BC$ соответственно. Прямые $OK$ и $OL$ не пересекают параллелограмм.
Даже больше: луч $EO$ не пересекает параллелограмм.

[TOTAL]

Ontt в сообщении #708991 писал(а):

Прямые $OK$ и $OL$ не пересекают параллелограмм.

Смотрите мой рисунок.

Параллелограмм - это тень от четырехугольника. Любая пряма (проходящая через $O$), пересекающая четырехугольник, пересекает и параллелограмм.

[Ontt]

TOTAL в сообщении #708992 писал(а):

Любая пряма (проходящая через $O$), пересекающая четырехугольник, пересекает и параллелограмм.

Варианта два: либо вы выбрали "удобный" четырехугольник, либо "удобную" точку $O$. То есть у Вас либо четырехугольник, либо точка непроизвольные.
На рисунке у Вас частный случай решения для определенного четырехугольника (и ему подобных). Как быть с четырехугольником на моём рисунке? Как решить задачу для него?

[nikvic]

Ontt в сообщении #709006 писал(а):

Как быть с четырехугольником на моём рисунке? Как решить задачу для него?

Возьмите муху за центр (отрицательной) линзы и FG за фокальную "плоскость". Противоположные стороны четырёхугольника "преломятся" на плоскости линзы в параллельные прямые

[Ontt]

Мое решение задачи.
Дано: выпуклый четырехугольник, являющийся сечением пирамиды с квадратным основанием; сторона квадрата равна $x$; через вершину и неизвестную точку $X$, лежащую на основании пирамиды, проведена прямая, пересекающая выпуклый многоугольник в точке $E$.

Найти: найти расстояние от точки $X$ до сторон квадрата.

Решение.
Привожу решение для четырехугольника, у которого все стороны не параллельны (для квадрата и трапеции построение проще, но требует пару оговорок). Все построения на плоскости и не требуют выхода в 3D.
1. Обозначим выпуклый четырехугольник $ABCD$ так, что $A$ - острый угол (если нет ни одного острого угла, то $ABCD$ квадрат).
2. Продолжим стороны четырехугольника $ABCD$ до пересечения в точках $F, G$.
3. Проведем через $A$ прямую, параллельную $F, G$. Точки пересечения этой прямой с продолжением сторон четырехугольника $ABCD$ обозначим $Z, Y$, так что $AZ>AY$.
4. Строим окружность с центром в $A$ и радиусом $AZ$.
5. Опустим перпендикуляр к прямой $YZ$ из $A$ до пересечения с окружностью в точке $M$.
6. Соединим отрезком точки $M, Z$.
7. Перпендикуляры к отрезку $MZ$, проведенные через точки $Z, A$; прямая, проведенная через точку $A$ и параллельная отрезку $MZ$; и сам отрезок $MZ$ образуют квадрат $AB'C'D'$.
8. Прямые $BB', CC', DD'$ пересекаются в точке $O$.
9. В четырехугольнике $ABCD$ через точки $A,E$ проведем прямую, пересекающую одну из граней $BC, CD$ в точке $N$. Через эту точку $N$ и точку $O$ построим прямую, которая пересечет одну из граней $B'C', C'D'$ в некой точке $N'$.
10. Точка $E'$ находится на пересечении $AN'$ и $OE$.
11. Все квадраты подобны, поэтому зная отношение расстояний от точки $E'$ до граней квадрата $AB'C'D'$, можно через длину стороны квадрата в основании пирамиды найти расстояние от точки $X$ до сторон квадрата в основании пирамиды.

nikvic в сообщении #709009 писал(а):

и FG за фокальную "плоскость"

Если бы еще знать, что это.

[nikvic]

Ontt в сообщении #709016 писал(а):

Если бы еще знать, что это.

Повторение для школьникоффф ("ход произвольного луча через линзу").

На плоскости задаётся Главная прямая на и точка вне её - "Центр линзы".
Эта пара задаёт преобразование прямых (и большинства точек), именно -
0/ Через Цл проводится прямая, параллельная Гп - это Лп, линза.
1/Прямая, проходящая через Цл, остаётся на месте.
2/Образы двух параллельных прямых, пересекающих Лп, пересекаются в одной точке с Гп.

[TOTAL]

Ontt в сообщении #709006 писал(а):

TOTAL в сообщении #708992 писал(а):

Любая пряма (проходящая через $O$), пересекающая четырехугольник, пересекает и параллелограмм.

Варианта два: либо вы выбрали "удобный" четырехугольник, либо "удобную" точку $O$. То есть у Вас либо четырехугольник, либо точка непроизвольные.
На рисунке у Вас частный случай решения для определенного четырехугольника (и ему подобных). Как быть с четырехугольником на моём рисунке? Как решить задачу для него?

Четырехугольник на Вашем рисунке оставьте, а параллелограмм из Вашего рисунка выкиньте подальше и постройте другой правильный. Для Ваших обозначений должно быть $C'D'$ параллельно $OG.$