Сходимость интегралов.

[bobadila]

Исследовать на сходимость интегралы:

• $$\int\limits_0^\infty{\lvert \sin x \rvert^x dx}$$
  
  Тут в нуле все ясно, проблемы на бесконечности. Преобразования к экспоненте ничего не дали, именные признаки нет идеи как применить. Кажется нужно рассматривать значения интеграла вблизи $\frac\pi2 + \pi n$ , суммировать эти значения и смотреть, расходится ли ряд. Но как там получше оценить функцию?
• $$\int\limits_0^\infty\frac{dx}{x^{2\cos^2x}+x^{2\sin^2x}}$$
  
  Аналогичная история, доопределяем функцию в нуле, но вот как оценить функцию на бесконечности?

Заранее спасибо за помощь.

[ИСН]

В первом надлежит оценить синус вблизи максимумов шапкой в форме функции $1-\text{\small несколько }x^2$. Коэффициент зависит от того, сверху оценивать или снизу, а это в свою очередь - от того, что мы хотим доказать.
Со второй надо подумать.

[ex-math]

ИСН
В первой хватит даже домиком остроконечным, снизу.

-- 11.04.2013, 20:58 --

Да и во второй снизу надо оценить, стало быть, показатель сверху -- и снова галочкой, в окрестности $\pi/4+\pi k/2$.

Главное тут понять, как ведут себя интегралы по маленьким окрестностям "особых" точек в зависимости от их номера. Во втором к ряду $1/(n\ln n)$ сводится, в первом -- к гармоническому.

[SpBTimes]

Второй вроде расходится

-- Чт апр 11, 2013 20:33:17 --

$\int\limits_{0}^{\pi} \frac{e^{2\ln(x + \pi n)} dx}{e^{2 \ln(x + \pi n)} + e^{4\sin^2(x)\ln(x + \pi n)}}$
$\geqslant \int\limits_0^{\pi} \frac{e^{2 \ln(\pi n)(\sin^2(x) - 1)}dx}{1 + e^{2\ln(\pi(n+1))(2\sin^2(x) - 1)}}$
$\geqslant 1/2 \cdot \int\limits_{\pi/12}^{\pi/6} \frac{(\pi (n + 1))^{2(1 - \sin^2{\pi/12})}dx}{\pi n}$

[bobadila]

ex-math
А как в $\lvert\sin x \rvert ^x$ сделать "остроконечный" домик? Вот мы рассматриваем окрестность $\frac\pi2 + \pi n \pm \varepsilon$, здесь синус это $\lvert\cos \varepsilon\rvert$, который можно оценить вниз как $1-\varepsilon^2$. А дальше как-то непонятно.

[ex-math]

Рассмотрим полпериода $[\pi n,\pi/2+\pi n]$ и сделав замену $x=t+\pi n$ переведем его в $[0,\pi/2]$. Там модуль синуса можно оценить снизу как $2t/\pi$, а показатель степени нужно оценить сверху скажем $4n$ для простоты. Значит, этот кусочек интеграла оценится снизу как $c/n$ с некоторым $c$.