Уравнение в целых числах.

[Imperator]

Найти все решения уравнения
$y^{2}=x^{3}+(x+4)^{2}$
в целых числах $x, y.$

P.S. Пока вижу только 2 очевидных решения. Дальше ничего не выходит. Есть какие-то идеи?

[RIP]

Есть. Очевидно, что при $x<0$ решений нет. $x=0$ даёт тривиальные решения. Дальше пусть $x>0$ и, для определённости, $y>0$. Тогда $y>x+4$. Видно, что $y$ чётно. Перепишем

$$(y+x+4)(y-x-4)=x^3.$$

1) $x$ нечётно. Тогда сомножители $y-x-4$ и $y+x+4$ взаимно просты, поскольку любой их простой делитель должен делить $2(x+4)$ и $x$. Получаем систему

$$\left\{\begin{aligned}y+x+4&=a^3,\\y-x-4&=b^3,\\x&=ab.\end{aligned}\right.$$

$a$ и $b$ натуральные числа. Но тогда $a^3-b^3=2ab+8$, в частности, $a>b$. Если $a\geqslant b+2$, то $a^3-2ab=a(a^2-2b)\geqslant(b+2)((b+2)^2-2b)>b^3+8$, поэтому $a=b+1$. Подставляем и убеждаемся, что решений нет.

2) $x$ чётно. Тогда несложно убедиться, что $x$ делится на 4, а тогда и $y$ делится на 4. Делая замену переменных $x=4u$, $y=4v$, получаем уравнение

$$\frac{v+u+1}2\cdot\frac{v-u-1}2=u^3,$$

и аналогично убеждаемся, что и тут нет решений.

[MMyaf]

RIP писал(а):

Есть. Очевидно, что при $x<0$ решений нет. $x=0$ даёт тривиальные решения. Дальше пусть $x>0$ и, для определённости, $y>0$. Тогда $y>x+4$. Видно, что $y$ чётно. Перепишем

$$(y+x+4)(y-x-4)=x^3.$$

Поясните, пожалуйста, почему

$$y$$

четно, потому что не совсем видно.

RIP писал(а):

2)

$$x$$

четно,тогда несложно убедиться, что

$$x$$

делится на 4 ...

Поясните и это.

[Lion]

MMyaf писал(а):

RIP писал(а):

Есть. Очевидно, что при $x<0$ решений нет. $x=0$ даёт тривиальные решения. Дальше пусть $x>0$ и, для определённости, $y>0$. Тогда $y>x+4$. Видно, что $y$ чётно. Перепишем

$$(y+x+4)(y-x-4)=x^3.$$

Поясните, пожалуйста, почему

$$y$$

четно, потому что не совсем видно.

Числа $x$ и $x+4$ имеют одинаковую четность.

MMyaf писал(а):

RIP писал(а):

2) $x$ четно,тогда несложно убедиться, что $x$ делится на 4 ...


Поясните и это.

В противном случае получатся, что $y^2/4\equiv -1\pmod{4}$, чего быть не может.

[MMyaf]

Да, действительно. Спасибо.