Приложение определенного интеграла

[Limit79]

Есть три задачи:

1) Вычислить работу, совершаемую при выкачивания воды из сосуда, имеющего форму сферы радиуса $R$.

2) Вычислить работу, совершаемую при выкачивания воды из сосуда, имеющего форму полусферы радиуса $R$, обращенной вершиной вверх.

3) Вычислить работу, совершаемую при выкачивания воды из сосуда, имеющего форму полусферы радиуса $R$, обращенной вершиной вниз.

Пусть $A_{1}$ - ответ к первой задаче, $A_{2}$ - ко второй, $A_{3}$ - к третьей.

Верно ли, что $A_{1} = A_{2} + A_{3}$ ? Наверное, очевидно, что верно, но все же.

И второй вопрос: при решении первой задачи, интегрирую в пределах от $-R$ до $R$, и в ответе получаю $0$, в чем может быть ошибка?

[iifat]

"Выкачивание" -- как понимаю, не термин. Что именно производится с водой в сосуде? В конце концов, если проделать дырочку внизу, то водя сама выльется, произведя (если подсуетиться) полезную работу.

[gris]

Limit79, посмотрите внимательнее на расположение полусфер по вертикали. По умолчанию в задачах по выкачиванию воды за "нулевой уровень" принимается максимальная по высоте точка ёмкости.

Про нулевую работу. Вы расположили две полусферы симметрично относительно плоскости, определяющей уровень, куда Вы собираетесь выкачивать воду. Очевидно, что работа по перемещению воды из нижней полусферы будет равна по модулю работе по выкачиванию воды из второй. А по знаку?

То же и для суммы работ. При выкачивании воды из сферы максимальные точки для целой сферы и для каждой полусферы совпадают?

[Limit79]

iifat
Задание привел дословно. Как я понял, выкачивают из верхней точки, насосом, например

gris
А по знаку, видимо, противоположная.

Спасибо, я вроде понял. Работа, при выкачивании из всей сферы будет больше суммы работ, если выкачивать из двух частей по отдельности (при условии того, что максимальная по высоте точка будет на "нулевом уровне"), так как при выкачивании воды из целой сферы, нижний кусок будет находится ниже нулевого уровня, а не на нем, как если бы качать по отдельности.