Функция

[Terraniux]

Найдите все такие функции $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, что для любых $\left\{x,y\right\}\in\mathbb{R}$ выполняются след. условия:
$f\left(\left[x \right ]y\right )f \left(\left\{xy \right\} \right)=f\left(x+y\right)f\left(\left [x+y \right ] \right )$

[Shadow]

Если скобки означают целая и дробная часть, то вроде просто...функция константа.
$x=0,y \in Z, f(0)^2=f(y)^2=C^2$
Значит для любого целого аргумента функция константа, тоесть $f([x+y])=\pm C, \forall x,y \in R$
$x=0, y \in R, C^2=\pm C f(y) \Rightarrow f(y)=\pm C$

Как-то странно. Может, я не понял условие?

[Cash]

Не совсем константа - доказано только, что множество значений из 2-х элементов. Но дальше выяснять как-то не тянет...

[Shadow]

Хорошо. Пусть $\exists y \in Z: f(y)f(0)<0$

$x=1, f(y)f(0)=f^2(1+y)>0$. Противоречие.

А разрыв может быть только в целых точках, так как при $x=0$ имеем $f^2(0)=f(y)f([y])>0$
Тоесть $\forall y \in [k,k+1), k \in Z: f(y)=f(k)$

[hippie]

Кроме константы подходит ещё любая функция равная нулю во всех целых точках и на отрезке [0; 1].

[Shadow]

Да, $f(0)=0$ надо было повнимательнее рассмотреть