Сходимость ряда с многими суммами

[Nuflyn]

Уважаемые коллеги!
Помогите прояснить ситуацию со сходимостью ряда:
$\sum_{n=1}^\infty a^n \sum_{p=0}^n \sum_{\sum_{j=1}^p k_j j = p} (k_1 ! ... k_j !... k_p !)^{-1} (-1)^z b^z $, где обозначено $z=\sum_1^p k_j$, a и b - некоторые числа. Очевидно, ряд сходится не при всех a и b, хотелось бы понять при каких.
Ряд скорее всего знакопеременный (не так ли?). Однако, применение критерия герра Лейбница осложнено тем, что непонятно (мне лично) как сравнивать два последовательных члена ряда и как обстоит дело с поведением n-го члена ряда при стремлении n к бесконечности.

[Nuflyn]

И кстати, если ряд который сходится проинтегрировать, то будет ли сходиться получившийся ряд? есть ли на эту тему какие-нибудь теоремки?

[Sonic86]

Так, видимо $k_j\geqslant 0$.

Nuflyn в сообщении #707823 писал(а):

Ряд скорее всего знакопеременный (не так ли?)

Не знаю. Вам именно условная сходимость нужна?

Nuflyn в сообщении #707823 писал(а):

$\sum_{n=1}^\infty a^n \sum_{p=0}^n \sum_{\sum_{j=1}^p k_j j = p} (k_1 ! ... k_j !... k_p !)^{-1} (-1)^z b^z $, где обозначено $z=\sum_1^p k_j$, a и b - некоторые числа. Очевидно, ряд сходится не при всех a и b, хотелось бы понять при каких.

$-b=c$.
Ряд - степенной по $a$. Значит надо найти скорость роста $n$-го члена $a_n=\sum\limits_{p=0}^n \sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^p k_j j = p} (k_1 ! ... k_j !... k_p !)^{-1}c^z$. Если скорость медленнее степенной функции, то ряд сходится абсолютно при $|a|<1$, если старший член скорости - степенная функция $r^n$, то ряд сходится абсолютно при $|ar|<1$, если старший член скорости растет быстрее экспоненты, то $a=0$.
Далее, оператор $\mathcal{S}(d_p)=\sum\limits_{k=1}^p d_k$ сохраняет соотношение скорости с экспонентой: $\mathcal{S}(d_p)$ растет быстрее (медленнее, как экспонента) чем экспонента $\Leftrightarrow$ $d_p$ растет быстрее (медленнее, как экспонента) чем экспонента. Остается оценить $d_p=\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^p k_j j = p} (k_1 ! ... k_j !... k_p !)^{-1}c^z$. Даже если взять грубо $z\leqslant p, k_1 ! ... k_j !... k_p !)^{-1}\leqslant 1$, то получим $|d_p| \leqslant c^p\sum\limits_{\sum\limits_{j=1}^p k_j j = p} 1=c^p P(p)$, где $P(p)$ - число разбиений $p$, о котором известно, что оно растет не быстрее $C_1\exp (C_2\sqrt{p})$ - медленнее экспоненты. Значит старший член $d_p$ - это $c^p$, значит ряд сходится при $|ab|<1$.

Nuflyn в сообщении #708000 писал(а):

И кстати, если ряд который сходится проинтегрировать, то будет ли сходиться получившийся ряд? есть ли на эту тему какие-нибудь теоремки?

Есть теорема Абеля о неизменяемости радиуса степенных рядов при интегрировании и дифференцировании.

[ex-math]

Nuflyn
Это же у Вас из той производной получилось? Для нее была точная формула. Посмотрите, где сходятся абсолютно те ряды, в которые Вы раскладывали. В этой области допустима любая перегруппировка членов кратного ряда. Мне кажется, должно получиться что-то более оптимистичное, чем $|ab|<1$.

Для интегрирования нужна равномерная сходимость по соответствующей переменной.

-- 10.04.2013, 11:58 --

http://dxdy.ru/topic70360.html
Из этой темы? Ваш ряд -- ряд Тейлора какой-то функции, вот и смотрите на функцию, а не на ряд.
Или не совсем ряд Тейлора? Но производные $p$-ого порядка участвуют, их можно оценить, например, с помощью неравенств Коши. В общем, лучше напишите задачу целиком, а то оптимального решения не найти.

[Nuflyn]

Sonic86
насколько я понимаю, Вы воспользовались тем обстоятельством, что если ряд абсолютно сходиться то он является сходящимся. Далее Вы пользуетесь утверждением, что если имеется ряд вида $ \sum_{n=1}^\infty a_n b_ n $, то необходимо сравнить скорости роста $a_n$ и $b_n$ и если одна другую задавливает, то ряд сходиться. Откуда следует это утверждение? Кроме того мне не очень понятно, почему при оценке скорости роста Вы ограничились только старшим членом и откуда взята оценка $C_1\exp (C_2\sqrt{p})$? Спасибо

[Nuflyn]

ex-math
Вы правы. Исходная задача была такая: $ \int\limits_a^b \sum_{n=1}^\infty \frac{(x-x_0)^n}{x_0 n!} \frac{d^n}{dx_0^n} \frac{\exp(-c/x_0)}{x_0} dx_0 $ - не ряд Тейлора, но похоже. Я раскрыл разность биномом Ньютона, выкинул за знак интеграла x при помощи второй теоремы о среднем (x сделался x_m - средней величиной), производную раскрыл формулой Лейбница дня n-й производной произведения, экспоненту обратного аргумента посчитал с помощью формулы, которую Вы мне подсказали. Проинтегрировал. Получился обсуждаемый ряд. Возможно оценить радиус сходимости исходного ряда и легче, но я пока не вижу как.

[ex-math]

Nuflyn
У Вас же под интегралом стоит просто

$$ \frac1{x_0}\left(\frac{e^{-\frac cx}}x-\frac{e^{-\frac c{x_0}}}{x_0}\right). $$

Интеграл вычисляется точно.

Что касается $e^{\sqrt p}$ -- это оценка функции разбиений $p(n)$. Можете посмотреть в книге Чандрасекхарана "Арифметические функции".

[Nuflyn]

А, так это выражение Харди-Рамануджана для числа разбиений? Тогда там должно быть p еще в знаменателе, нет?

[Sonic86]

Nuflyn в сообщении #708649 писал(а):

Тогда там должно быть p еще в знаменателе, нет?

Даже если так - роли не играет для абсолютной сходимости.

Nuflyn в сообщении #708425 писал(а):

Далее Вы пользуетесь утверждением, что если имеется ряд вида $ \sum_{n=1}^\infty a_n b_ n $, то необходимо сравнить скорости роста $a_n$ и $b_n$ и если одна другую задавливает, то ряд сходиться.

Я таким не пользовался. Я пользовался чем-то подобным для $a_n=a^n$.

Nuflyn в сообщении #708425 писал(а):

Кроме того мне не очень понятно, почему при оценке скорости роста Вы ограничились только старшим членом

Предельный признак сравнения для знакоположительных рядов.

[Nuflyn]

Sonic86
Угу, благодарю, стало понятно теперь.