Доказательство существования с помощью двойного неравенства?

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! А можно ли в геометрии доказать существование объекта с помощью двойного неравенства? Например, пусть дан прямоугольник $ABCD$, перпендикуляр $CE$ к $BD$. Требуется доказать или опровергнуть существование такого соотношения сторон прямоугольника, чтобы $ABCE$ был описанным, другими словами, доказать, что он может быть описанным. Если вычислять, как минимум вылезет уравнение 4-ой степени...



Одну границу я таки нашёл- верхнюю (для меньшей стороны; конечно, если стороны $a$ и $b$,оно сильнее, чем $a<b$ ). Так как квадрат представляет собой предельный случай, то методом противоречия получаем, что такого четырёхугольника не существует.
Вот мой ход мыслей:
$BC^2=(AC)(BE)$=>$BC^2>2S(ABCE)$=>$BC^2>P(ABCE)(r)$=>$BC^2>4AB(r)$=>
=>$BC^2>8r$. Величина $r$ явно больше, чем радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. Отсюда получаем соотношение: $b^2>8\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}$. Дальше понятно.

А вот если бы вдруг мне удалось найти нижнюю границу и не было бы никакого предельного случая, мог бы я утверждать, что доказал существование? Или такого метода в геометрии не существует?

[gris]

Во вписанном четырёхугольнике должно выполняться равенство$BC+AE=AB+CE$
В квадрате оно выполняется, и, действительно, в вырожденный четырёхгольник сиречь треугольник можно вписать окружность.
При удлинении стороны $AB$ четырёхугольник становится невыпуклым и в него нельзя вписать окружность.
При удлинении стороны $BC$ очевидно $BC>AB$ и $AE>CE$, то есть равенство невыполнимо.
Что не отменяет, конечно, применения метода координат, который очень многим нравится.

+++ По-моему, я не совсем понял замысел ТС

[Cash]

Классическая задача:
Доказать, что через любую точку внутри выпуклой фигуры можно провести прямую, делящую данную фигуру на две равновеликие части.

[Nikolai Moskvitin]

gris, а как доказать более сильное утверждение, что окружность, касающаяся прямых AB,BC и CE, пересекает отрезок AE? Я предлагаю провести из A касательную и достроить чертёж так, чтобы на нём был описанный четырёхугольник (ABCF, F лежит на прямой CE). И как-то воспользоваться вновь свойством описанного четырёхугольника. Но как?!

-- 09.04.2013, 20:03 --

Cash в сообщении #707858 писал(а):

Классическая задача:
Доказать, что через любую точку внутри выпуклой фигуры можно провести прямую, делящую данную фигуру на две равновеликие части.

Cash, имеется в виду обычная замкнутая фигура, т.е. часть плоскости, ограниченная линией? Для меня трудновата будет... Может, как-то через центр тяжести?..

[Cash]

Эта задача как раз и решается через "предельные" положения.
Я не буду сейчас писать решение - дам Вам удовольствие решить ее самостоятельно.

[gris]

Cash, а это не Ксюшин пи-разворот? Типа проводим произвольную прямую через точку...
Пока писал, увидел Ваше сообщение

Nikolai Moskvitin, я бы провёл касательную, параллельную $AE$.

[Cash]

gris в сообщении #707880 писал(а):

Ксюшин пи-разворот

Хорошее название...

Впервые об этой задаче прочел у Литтлвуда в "Математической смеси". Там еще было что-то про стержень на шарнире в поезде, которому можно задать такое начальное положение, что за всю поездку он так и не упадет. Но в это я до сих пор не верю...

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #707880 писал(а):

Nikolai Moskvitin, я бы провёл касательную, параллельную $AE$.

А дальше, наверное, подобие... Спасибо, попробую так!

[gris]

Нет, не подобие. Для получившегося описанного четырёхугольника равенство сумм длин противоположных сторон выполняется. Ну а дальше надо оформить идею, что для получения прежнего неравенства придётся двигать отрезок в определённом направлении.

[AKM]

Nikolai Moskvitin в сообщении #707835 писал(а):

$BC^2=(AC)(BE)$=>$\ldots$

См. 7.3. Стрелки

[gris]

Cash, наверное, если заранее известна "формула движения" .

[Nikolai Moskvitin]

А в задаче Cash, наверное, сначала надо доказать, что для любой точки внутри замкнутой выпуклой фигуры существует прямая, проходящая через неё и отсекающая от фигуры новую фигуру минимальной площади. Затем повернуть прямую вокруг этой точки как центра и рассмотреть разность площадей криволинейных треугольников, которая рано или поздно превысит ноль. Т.е. площадь отсекаемой фигуры будет всё возрастать и достигнет таки половины. Но как строго обосновать?

-- 09.04.2013, 20:48 --

gris в сообщении #707894 писал(а):

придётся двигать отрезок в определённом направлении.

Да, gris, знаю такой метод! Только не пробовал его применять для описанных четырёхугольников. Только с теоремой о вписанном угле.

[Cash]

Nikolai Moskvitin, gris привел начало решения и в названии "пи-разворот" можно разглядеть основную идею.