Галилеево преобразование

[stanislav71]

Доказать, что галилеево преобразование пространства:
$g_1(t,x) = (t, x + vt)$ - равномерное движение в $t \in R, x \in R^3$
$g_2(t,x) = (t+s, x + s)$ - сдвиг в $t \in R, x \in R^3$
$g_3(t,x) = (t, Gx)$ - поворот в $t \in R, x \in R^3$, где $G:R^3 \to R^3$ - ортогональное преобразование

можно представить в виде произведения $g = g_1 \cdot g_2 \cdot g_3$, при этом единственным способом.
А также показать, что размерность группы равна: $3+4+3=10$.

[Munin]

Самостоятельные попытки решения?

Кстати, в сдвиге слагаемые, очевидно, разные.

[stanislav71]

Munin в сообщении #707824 писал(а):

Самостоятельные попытки решения?

Кстати, в сдвиге слагаемые, очевидно, разные.

да при сдвиге разные.

даже не знаю с чего начать:

$g(t,x) = g_3\cdot g_2 \cdot g_1 = (t+s_t,Gx + Gs + Gvt)$
$g:t \to t+s_t $
$g:x \to x' + s' + v't$

[Munin]

Может, с определения, а что такое галилеево преобразование?

[stanislav71]

Munin в сообщении #707902 писал(а):

Может, с определения, а что такое галилеево преобразование?

Галилеевы преобразования это аффинные преобразования (взаимооднозначно точки в точки, прямые в прямые) в $A^4$ с сохранением интервалов времени и расстояний для одновременных событий. А кажется понятно что делать, спасибо )

[Munin]

Ну что ж, вот исходя из этого определения, можно написать формулы таких преобразований в общем виде, а потом показать, что они раскладываются по приведённым вами в первом сообщении.

[stanislav71]

Munin в сообщении #707924 писал(а):

Ну что ж, вот исходя из этого определения, можно написать формулы таких преобразований в общем виде, а потом показать, что они раскладываются по приведённым вами в первом сообщении.

А может просто взять два события, применить к нему к ним преобразование $g = g_3\cdot g_2 \cdot g_1 = (t+s_t,Gx + Gs + Gvt)$ и показать, что интервалы времени и расстояния между событиями не изменятся ?

$X_1 = (t_1, x_1) $
$X_2 = (t_2, x_2) $

Доказать что:

$p(X_1,X_2) = || X_1 - X_2 || = || g \cdot X_1 - g \cdot X_2 || $

$ || X_1 - X_2 || = ||t_1 - t_2|| + || x_1 - x_2 || \Rightarrow || x_1 - x_2 || = || g \cdot x_1 - g \cdot x_2|| $

[Munin]

Нет, это вы докажете стрелочку в другую сторону: композиция $g_1,g_2,g_3$ $\Rightarrow$ галилеево преобразование. А вам надо галилеево преобразование $\Rightarrow$ композиция $g_1,g_2,g_3.$

[stanislav71]

Munin в сообщении #707953 писал(а):

Нет, это вы докажете стрелочку в другую сторону: композиция $g_1,g_2,g_3$ $\Rightarrow$ галилеево преобразование. А вам надо галилеево преобразование $\Rightarrow$ композиция $g_1,g_2,g_3.$

Похоже что так, тогда как записать преобразование Галилея в общем виде, чтобы общее разложить на компоненты ?

[Munin]

Исходя из определения. Что такое аффинные преобразования? Как они записываются в общем виде? Какие дополнительные требования на них наложены? И т. д.

[stanislav71]

Munin в сообщении #708199 писал(а):

Исходя из определения. Что такое аффинные преобразования? Как они записываются в общем виде? Какие дополнительные требования на них наложены? И т. д.

Аффинное преобразование это преобразование при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, сохраняя отношение длинн отрезков, (параллелограмм переходит в параллелограмм).
запись в общем виде:
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix} $

или в однороных координатах:
$ \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & g_{13} & b_{1}\\ g_{21} & g_{22} & g_{23} & b_{2}\\ g_{31} & g_{32} & g_{33} & b_{3}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix} $

Дополнительные условия преобразования Галилея.
1) для одновременных событий преобразования сохраняют расстояние.
отсюда $g_{ij}$ - ортогональное преобразования в $E^3$ из преобразований остаются повороты и сдвиги.

2) для неодновременных событий, преобразования сохраняют интервалы времени.
$t' = t + t_{(0)}$

если обобщить матричную запись для преобразований Галилея:

$\begin{pmatrix} r'_i \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{ij} & v_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_j \\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r_{(0)} \\ t_{(0)} \end{pmatrix}$

как быть дальше ?

[Munin]

Теперь в таком же виде запишите упомянутые в условиях $g_1,g_2,g_3,$ найдите их композицию, и покажите, что любое преобразование Галилея в матричной записи представляет собой такую композицию (например, явно указав, как перейти от параметров преобразования Галилея в матричной записи, $g_{ij},v_i,r_{(0)},t_{(0)},$ к параметрам $g_1,g_2,g_3$).

Кстати, мне кажется, вместо $r_{(0)}$ должно стоять $r_{(0)i}.$

[stanislav71]

Munin в сообщении #712871 писал(а):

Теперь в таком же виде запишите упомянутые в условиях $g_1,g_2,g_3,$ найдите их композицию, и покажите, что любое преобразование Галилея в матричной записи представляет собой такую композицию (например, явно указав, как перейти от параметров преобразования Галилея в матричной записи, $g_{ij},v_i,r_{(0)},t_{(0)},$ к параметрам $g_1,g_2,g_3$).

Кстати, мне кажется, вместо $r_{(0)}$ должно стоять $r_{(0)i}.$

Да действительно, опечатался.

Преобразование в общем виде:

$$\begin{pmatrix} r'_i \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{ij} & v_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_j \\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r_{(0)i} \\ t_{(0)} \end{pmatrix} = [g_{ij},v_i,r_{(0)i},t_{(0)}] = g $$

Группа преобразований зависит от параметров: $g_{ij},v_i,r_{(0)i},t_{(0)}$

Докажем, что:

$$[g_{ij},v_i,r_{(0)i},t_{(0)}] = g_1\cdot g_2\cdot g_3 $$

$$ \begin{vmatrix} g_1 = (t, x + vt) \Rightarrow [0,v_i,0,0] \\ g_2 = (t+s, x + s) \Rightarrow [0,0,r_{(0)i},t_{(0)}] \\ g_3 = (t, Gx) \Rightarrow [g_{ij},0,0,0] \end{vmatrix}$$

$$ g_1\cdot g_2\cdot g_3 = [0,v_i,0,0]\cdot[0,0,r_{(0)i},t_{(0)}]\cdot[g_{ij},0,0,0] = [g_{ij},v_i,r_{(0)i},t_{(0)}] =g $$

Конец доказательства.

Таким образом, группавая операция это сложение: $(G,\cdot) = (G,+)$, я правильно понимаю ?

Группа Галилея, адитивная группа $(G,+)$ с нейтральным элементом: $e= [0,0,0,0]$.

Так ? Если так, то всегда ли можно заметить тип групповой операции на абстрактной группе?

[Munin]

Нет, вы опять перепутали: доказали стрелочку в обратную сторону, то есть тот факт, что композиция заданных преобразований является преобразованием Галилея. А надо доказать, что для любых $g_{ij},v_i,r_{(0)i},t_{(0)}$ найдутся такие заданные преобразования, и найти их параметры $v,s,G.$ Обратите внимание, что это будет зависеть от порядка преобразований.

И нет, группа Галилея - не аддитивная группа. Нейтральный элемент будет в ваших обозначениях $[\operatorname{diag}(1,1,1),0,0,0].$

[ИгорЪ]

stanislav71 в сообщении #712853 писал(а):

$\begin{pmatrix} r'_i \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{ij} & v_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_j \\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r_{(0)} \\ t_{(0)} \end{pmatrix}$

как быть дальше ?

Сдвиги надо тоже загнать в матрицу,

$\begin{pmatrix} r'_i \\ t' \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{ij} & v_i &r_{(0)}_{i}\\ 0 & 1 &t_{(0)}\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_j \\ t \\1\end{pmatrix} $

будет легче и правильней. Тогда групповое и матричное умножение просто совпадут. Это и есть матричное представление г. Галилея. Все групповые параметры внутри матрицы 3+3+4.