(Не)существующее число?

[Ktina]

Существует ли натуральное число, из которого нельзя получить добавлением одной цифры число, кратное 11?
(ТурВорон)

[iifat]

Затупил. Нету таких чисел. Хотя -- куда можно цифру добавлять?

[Shadow]

Не существует. Добавлением цифру в конце не получится только, если наше число $A \equiv -1 \pmod {11}$
Добавлением в начале не получится только если у А нечетное число цифр. Тогда поставим цифру $x$ на второй позиции, т.е
$a_0-a_1+a_2-\cdots+a_{2n}=-1 \pmod{11}$
Пусть будет
$\\C+a_{2n}=-1 \pmod{11}\\ C+x-a_{2n}=0 \pmod{11}\\ x=2a_{2n}+1$
При любом $a_{2n}$ получим $x \ne 10$

[TelmanStud]

Нет такого числа.
К любому числу $n$ дающему остаток $k$ т.е.
$n=m \cdot11+k$ можно приписать справа $k$ и оно будет делится на $11$.
$(m \cdot11+k) \cdot10+k=10m \cdot11+11 \cdot k$
Ну и отдельно $k=10$ надо посмотреть

[Коровьев]

Проще воспользоваться школьным признаком делимости числа на $11$
Число делится на $11$, если разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на $11$

[Shadow]

Коровьев в сообщении #707727 писал(а):

Проще воспользоваться школьным признаком делимости числа на $11$

Shadow в сообщении #707632 писал(а):

$a_0-a_1+a_2-\cdots+a_{2n}=-1 \pmod{11}$