Два упражнения по линейной алгебре

[MAnt]

1. Операторы $ f:V \to V$ и $ g:V \to V$ называются перестановочными, если $fg = gf$. Докажите: если линейный оператор $ f:V_n \to V_n$ имеет $n$ различных собственных значений, то линейный оператор $g$, перестановочный с $f$, имеетте же собственные векторы, что и $f$.

2. Докажите, что любые два перестановочных линейных оператора конечномерного комплексного линейного пространства в себя имеют общий собственный вектор.

Пытался доказывать первое, получил только это:$gf \overrightarrow{x} = g \lambda \overrightarrow{x} = \lambda g \overrightarrow{x} = fgx \Rightarrow $для любого $\overrightarrow{x}$ собственного для $f$, $g \overrightarrow{x}$ тоже собственный для $f$. Наверное, доказав первое, легко доказывается и второе.

[SpBTimes]

$f g \vec{x} = \lambda f \vec{x} = g f \vec{x}$. Это значит, что вектор $f \vec{x}$ отвечает тому же с.з $\lambda$. Но собственное подпространство имеет вид $C \cdot \vaec{x}$. А это и значит, что $f$ действует на $\vec{x}$, умножением на константу.