Объем тела

[Limit79]

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом $z=x^2+y^2$, цилиндром $x^2+y^2=2x$ и плоскостью $z=0$.

Мои мысли:
Данное тело ограничено снизу плоскостью $z=0$, сверху - параболоидом $z=x^2+y^2$, и по бокам - цилиндром $x^2+y^2=2x$

Проекция данного тела но плоскость $xOy$ будет окружность: $x^2+y^2=2x$ (или $(x-1)^2+y^2=1$)

Тогда $V = \int\limits_{0}^{2} dx \int\limits_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}} dy \int\limits_{0}^{x^2+y^2} dz$

Перехожу к цилиндрическим координатам:

Окружность: $r=2 \cos(\varphi)$, при этом $\frac{-\pi}{2} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$

Параболоид: $z=r^2$

То есть: $V = \int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{0}^{2 \cos( \varphi)} r dr \int\limits_{0}^{r^2} dz$

Верно ли, или я где-то что-то напутал?

Заранее спасибо за ответы!

[SpBTimes]

Верно

[Limit79]

SpBTimes
Спасибо.

А не подскажите, можно ли тут перейти к цилиндрической СК по формулам:

$\left\{\begin{matrix} x-1=r \cdot \cos(\varphi)\\ y=r \cdot \sin(\varphi)\\ z=z \end{matrix}\right.$

[SpBTimes]

можно. Поменяются пределы

[Limit79]

SpBTimes
Понял. Большое спасибо за помощь!