Счет и числа.

[Stan Slapenarski]

Комментарии к тексту jurijа. Продолжение.

Цитата:

формально описываются соотношением: $0 - A = B. \eqno (1)$
Здесь A и B – некие материальные множества.

Арифметическая, числовая операция вычитания производится не над множествами, а над количествами их элементов, числами.

Цитата:

Например, из опытов по электризации, известно, что если от электрически нейтрального тела отнять электрический заряд одного знака, то тело приобретет заряд другого знака. А если отобранный заряд вернуть телу, то оно вновь станет электрически нейтральным. Из современных представлений следует, что электрически нейтральное тело состоит из атомов и молекул. Их электрическая структура имеет вид: $0 = [(-q)+(+q)]$, где $-q$ и $+q$ это частички, имеющие электрические заряды двух различных типов. То есть, чтобы (1) не противоречило закону сохранения материи,

В данном случае – закону сохранения заряда.

Цитата:

нолем следует считать некое составное множество:$0 = [A + B]. \eqno (2)$

Это попытка распространить (а то и отождествить), арифметические операции над натуральными числами, количествами на материальные множества. Однако, поскольку количество элементов множества не тождественно ему самому (например, два яблока это не число «два»; не говоря уже о нуле: может ли материальное множество содержать нуль элементов?), то я склонен считать, что отождествление неправомерно. Далее, количество это не любая метрологическая мера множества, а вполне определенная, основанная на его элементах, в некоторых случаях определяемая их подсчетом. Почему именно заряд должен являться таковой мерой, а, например, не масса?! Почему, например, для определения количества элементов заряда материальное тело должно делится на электроны и нуклоны и, а, например, не на электроны и кварки, у которых заряд вообще дробный (не говоря уже об априорно допустимой возможности бесконечно деления материального тела)?!

Мне кажется, что изначально с позиции счета отрицательные числа определяются домыслом до натуральных, например, как долг: «У Ивана есть минус 100 рублей, он их должен Петру». А не материальным дополнением до натуральных, как в Вашем примере с зарядом. Мне кажется, что операции отнятия и добавления заряда с материальным телом это уже не метрологические операции счета, пусть даже и счета заряда, о чем я писал в конце предыдущего абзаца.

Кстати, в аксиоматической теории множеств, количества элементов множества отождествляются с некоторыми выделенными множествами, так называемыми кардинальными числами или кардиналами. Например, в ней натуральным числом $n$ является множество состоящее из всех целых чисел от нуля до $n-1$, т.е. из $n$ элементов. Такой абстрактный подход к количеству продиктован потребностью в построении аксиоматической (т.е. без референции к материальным множествам) системы. Поэтому в аксиоматической теории множеств нельзя говорить, например, о множестве всех яблок в корзине (чему могут учить в некоторых книгах по наивной теории множеств), ибо элементами множеств могут быть только множества, а сами множества полностью определяется своими элементами, т.е. множества $A$ $B$ тождественны, если они содержат наборы одинаковых элементов, т.е. когда каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$, и наоборот.

Цитата:

2. Ноль, это составное множество, состоящее из двух видов элементов, обладающих взаимно компенсирующими свойствами. Тогда «ноль» отображает отсутствие преимущества, какого либо, из этих свойств, применительно к составному множеству в целом.
Например, атом это электрический ноль – составное множество электрически компенсированных положительно и отрицательно заряженных частиц. Отнимая, либо прибавляя к такому нолю отрицательные заряды, из атома можно получить как положительно, так и отрицательно заряженные ионы.

Я уже писал об чуть выше. По определению, нуль это число, а не материальное множество, вроде атома. И нуль как отсутствие преимущества, баланс, это все-таки уже не чисто счетный нуль, и для такого определения нуля кроме операции счета уже вводятся и другие операции – прибавления или отнимания.

Это различие особо наглядно я вижу в Вашем следующем примере

Цитата:

Вода, это составное множество двух взаимно компенсированных кислых $H+$ и щелочных $OH-$ ионов. То есть вода – это кислотно-щелочной ноль. Смещая баланс $H+/OH-$ , можно придать воде как кислотные, так и щелочные свойства.

Ионы здесь присутствуют лишь потенциально, ведь молекула воды может расщепляться и не на ионы, а на атомы кислорода и водорода.

Цитата:

Для количественного отображения двух типов взаимно компенсирующих свойств необходимо, очевидно, два типа чисел.

Эти свойства-то не различные «вообще», а компенсирующие, дополняющие. Поэтому, для введения отрицательных мер, нужно не вводить принципиально новый тип чисел, а дополнять тип уже имеющихся мер одного свойства. Что, впрочем, Вы далее и делаете.

Цитата:

Обозначим в (2) меру свойства единичного элемента множества «A» единицей $(+1)$. А меру свойства единичного элемента множества «B» особой единицей $(-1)$. Поскольку $A + B = 0$, то, соответственно, $1 + (-1) = 0$.

Мне кажется, что это не просто утверждение нуля как баланса, а большее. Утверждается, что все элементы множества $A$ – положительны, а множества $B$ – отрицательны, что априорно неизвестно (в отличии от подсчета элементов, у Вас же, вроде, не указана операция разделения «нулевого» множества на множества $A$ и $B$). Поэтому знаками «+» и «-» точнее отмечать, обозначать, не принадлежность элементов к множествам, а наличие у них определенного свойства или его дополняющего.

Цитата:

Обозначим в (2) меру свойства единичного элемента множества «A» единицей $(+1)$. А меру свойства единичного элемента множества «B» особой единицей $(-1)$. Поскольку $A + B = 0$, то, соответственно, $1 + (-1) = 0$. Такое обозначение удобно тем, что в нем знак $(-)$ имеет двоякий смысл. Он может обозначать особый (отрицательный) статус единицы:

$$(+1) + (-1) = 0.$$

Либо отображать результат действия - вычитания положительной единицы самой из себя.

$$1 - 1 = 0.$$

Рассматриваемое здесь вычитание, это, опять таки, операция не над числами, а над материальными множествами. Кроме того, саму из себя материальную единицу, элемент материального множества, кажется, так вычитать и нельзя – она ведь не обладает свойством, дополняющее свое определенное.

«- Милиция? Звонят из психбольницы. У нас убежал ненормальный больной.
- Какой он из себя?
- Лысый и лохматый.
- Как же такое может быть?
- Я же сказала, что он ненормальный!»

Цитата:

От целых положительных и отрицательных чисел нетрудно перейти к дробным.

Посредством введения еще одной операции (деления), уже непосредственно не связанной с метрологическими мерами.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Stan Slapenarski в сообщении #707100 писал(а):

материальное множество

Вы можете это определить? Или Вы развлекаетесь?

[jurij]

Для arseniiv.

«Вы думаете, если выдумать что-то, оно заменит собой историю?» Согласен с Вами. Разрыв между «откуда взялись» и «как используются сейчас» я пытаюсь заполнить цепью рассуждений. Безусловно, историю это не заменяет. Но логику развития восстановить позволяет. Очень часто достаточно и этого.

«Как вы себе представляете такую передачу аксиом?»

Один из самых распространенных литературных источников утверждает, что на горе Синай Моисей неоднократно получал информацию от Бога в форме записей на каменных пластинах. Вполне возможно, что наряду с указаниями об обустройстве еврейского государства, на скрижалях огненными письменами были начертаны и аксиомы арифметики.
Ну а если серьезно, то аксиомы арифметики, как в принципе(?) недоказуемые утверждения (абсолютная истина?), независимо от того кем из рода человеческого были сформулированы, вполне можно считать божиим промыслом.

Для nicvic.

В данном форуме принимают обсуждение jurij, arseniiv, nicvic, slapenarski, bot, deggial. Это имена. Их можно упорядочить, например, в алфавитном порядке.
Arseniiv, bot, deggial, jurij, nicvic, slapenarski. Такая последовательность имен уже является рядом, поскольку указано правило, которое определяет порядок их следования.
Далее. Применим к этому ряду имен процедуру счета. То есть, поименуем их именами счетного ряда: 1.Arseniiv, 2.Вot, 3.Deggial, 4.Jurij, 5.Nicvic, 6.Slapenarski.
Тогда числовое имя любого из членов этого ряда будет непосредственно указывать, сколько имен содержит часть ряда ограниченная этим именем. Например, имя «три» (Deggial) будет указывать, что часть ряда, ограниченная Deggial содержит ТРИ имени: Arseniiv, Вot, Deggial. Не $1+2+3$, а именно ТРИ. Или «пять»(Nicvic): Arseniiv, Вot, Deggial, Jurij, Nicvic, т.е. пять имен.

То есть, СЧЕТНЫЙ РЯД, это бесконечный ряд ИМЕН, а не чисел. В общем случае к ним неприменимы арифметические операции. Например, СЕМЬ звезд Большой Медведицы нельзя сложить с ПЯТЬЮ коровами, пасущимися на лугу. Здесь семь и пять – это имена количества звезд и коров.
Иное дело, когда ПЯТЬ и СЕМЬ – это имена сумм счетных (абстрактных) элементов. К множествам этих элементов применимы все арифметические операции. Точнее, арифметические операции формулируются как операции с этими множествами. Тогда можно отвлечься от того, что ПЯТЬ и СЕМЬ это имена и рассматривать их уже как ЧИСЛА.

Материальное множество - это множество элементов, объединенных единым признаком и территорией, на которой этот признак является значимым.

[arseniiv]

jurij в сообщении #707110 писал(а):

Ну а если серьезно, то аксиомы арифметики, как в принципе(?) недоказуемые утверждения (абсолютная истина?), независимо от того кем из рода человеческого были сформулированы, вполне можно считать божиим промыслом.

В том и дело, что не абсолютная истина. Мы просто указываем нужные нам свойства и получаем из них какие-то выводы. Мы можем взять другие свойства и получить какие-нибудь другие выводы. Или мы можем подобрать их так, чтобы выводы были те же самые.

[Stan Slapenarski]

Sonic86

(Оффтоп)

Цитата:

Вы можете это определить?

Не аксиоматически. Я уже писал здесь, что называние подобных объектов множествами может быть в книгах по наивной теории множеств. И у меня сложилось впечатление, что такими множествами, называют примерно то же, что в логике называют объемом понятия. А если такое множество состоит из материальных элементов, то его можно назвать материальным. Философское определение материи давать? :-)

-- 07.04.2013, 21:04 --

jurij писал(а):

аксиомы арифметики, как в принципе(?) недоказуемые утверждения (абсолютная истина?), независимо от того кем из рода человеческого были сформулированы, вполне можно считать божиим промыслом.

А, порой, и еще выше. Например, некоторые теологи считают, что даже сам Господь Бог не смог бы построить шестой правильный многогранник в трехмерном пространстве.

Для математика-платониста аксиомы отображают, интерпретируют и формулируют истинные свойства мира идей. (Правда, окончательно не ясно, какие именно из утверждений являются аксиомами. Например, какое именно решение континуум-гипотезы истинно).

Для математика-формалиста аксиомы это просто некоторые исходные символьные выражения для вывода их них, по определенным правилам, других символьных выражений – теорем.

Имре Лакатос в книге «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы» так рассказывает об изначальном предназначении аксиом: «Геометрия Евклида, по-видимому, была предложена как космологическая теория (см. Popper, 1952, стр. 147—148). И ее «постулаты» и «аксиомы» (или «общие понятия») были предложены как смелые, вызывающие предложения, направленные против Парменида и Зенона, учения которых влекли за собой не только ложность, но даже логическую ложность, непредставимость этих «постулатов». Только позже «постулаты» были приняты как несомненно истинные, и смелые антипарменидовские «аксиомы» (вроде «целое больше части») были сочтены настолько тривиальными, что были опущены в позднейших анализах доказательства и превращены в «скрытые леммы». Этот процесс начался с Аристотеля; он заклеймил Зенона как любящего спорить чудака, и его аргументы как «софистику». Эта история была недавно рассказана с интересными подробностями Арпадом Сабо (1960, стр. 65—84). Сa6o показал, что в эпоху Евклида слово «аксиома», как и «постулат», обозначало предположение в критическом диалоге (диалектическом), выставленное для того, чтобы проверить следствия, причем партнер по дискуссии не обязан был принимать его как истину. По иронии истории его значение оказалось перевернутым. Вершина авторитета Евклида была достигнута в век просвещения. Клеро побуждал своих товарищей не «затемнять доказательств и раздражать читателей», выставляя очевидные истины: Евклид делал это лишь для того, чтобы убедить «упорствующих софистов» (1741, стр. X и XI)».

[Stan Slapenarski]

Комментарии к тексту jurijа. Окончание.

Цитата:

Однако у материальных тел есть свойства, компенсация которых достигается путем сложения более чем двух свойств. Например, белый свет можно рассматривать как результат сложения (компенсации) семи цветов. Или, как минимум, трех,

Двух тоже, посредством сложения дополнительных цветов.

Цитата:

как это используется в телекоммуникациях. Там для передачи цветного изображения используется красный (R), зеленый (G) и голубой (B) цвета. Отсюда, можно ввести три взаимно компенсирующих единицы:

$$1R + 1G + 1B = 0.$$

Из опыта известно, что эти единицы необходимо дополнить амплитудами - мерами интенсивности (цвета). А так, как отрицательной освещенности не бывает, то для этого достаточно только положительных чисел и ноля. Кроме того, в опыте наблюдается явление (интерференции) когда: $1R +1R = 0$ (ноль амплитуды). Чтобы описать это свойство амплитуд им необходимо дополнительное измерение – фаза. В результате возникает множество трехмерных (цвет, фаза, амплитуда) чисел, которое будет иметь три ноля.

Я сначала пытался формализовать это световое-цветовое исчисление, но потом осознал, что есть две (гносеологически) различные вещи. Свет – физическое, (материальное, если хотите) электромагнитное излучение и цвет – свойство субъективно переживаемых ощущений (идеальное, если хотите). У света нет цвета – лишь амплитуда и фаза волн определенной длины, а у цвета нет ни фазы, ни длины волны (вместо линейной зависимости цвета от частоты мы имеем так называемое «цветовое колесо» («Color Wheel»), в котором зависимость закручивается в кольцо: красный цвет до радуге плавно переходит в фиолетовый, а затем, продолжая, снова в красный). Да и амплитуда цвета условна – ведь ощущения даны нам без шкалы, определяющей меру их интенсивности. Хотя, посредством сравнения их с эталонными ощущениями, вызванными проградуированными материальными сигналами (например, светом заданной силы) эта интенсивность и может быть введена.

Далее, «получение» цветовых ощущений на основании раздражения световыми сигналами, принимаемыми рецепторными клетками сетчатки, это сложный, многоэтапный и неоднозначный процесс.

Вот цитата из работы Г. Адама «Восприятие, сознание, память»:

«Теория двойственности. Физиологи, изучающие органы чувств, и офтальмологи давно поняли, что два типа рецепторных клеток в сетчатке, т.е. палочки и колбочки, различны по своим функциональным свойствам. Колбочки служат для острого видения при дневном свете и реагируют на разные длины волн.

Палочки же выполняют функцию отличения света от темноты и тем самым служат для ночного зрения и видения в сумеречном свете. Порог возбуждения палочек ниже, а благодаря особому фотохимическому процессу световая чувствительность сетчатки в темноте повышается. Это называют темповой адаптацией. В темноадаптированном глазу чувствительность сетчатки приближается к максимально возможной: самым низким порогом для палочек является один квант лучистой энергии света. Обладая такой фантастической световой чувствительностью, палочки в то же время не реагируют на различия в длине волны; различение цвета составляет функцию колбочек, у которых зато световая чувствительность гораздо ниже (минимальный порог равен 5-7 квантам). В центральной ямке имеются только колбочки, и здесь, как уже говорилось, рецептивное поле может состоять из одной колбочки. К периферии возрастает число палочек. Таким образом, зрение основано на совместной функции рецепторов двух типов на воспринимающем конце.

Фотохимические процессы. И в палочках, и в колбочках генерации рецепторного потенциала, ведущего к возникновению импульсации, предшествуют специфические фотохимические процессы. В палочках содержится вещество родопсин, называемое также зрительным пурпуром, которое расщепляется под действием света (для расщепления одной молекулы требуется один квант). Продукты расщепления играют какую-то роль в генерации рецепторного потенциала. Это процесс обратимый и продукты распада - ретиналь и опсин - в темноте снова соединяются в зрительный пурпур. Подобные вещества можно обнаружить и в колбочках, но здесь механизм их распада недостаточно ясен. Согласно Уолду (Wald), в трех разных группах колбочек имеются три вида светочувствительных пигментов. Одни колбочки содержат пигмент, чувствительный к зеленому свету, а другие чувствительны соответственно к красному и синему свету. Это подтверждает трехцветную (трихроматическую) теорию Юнга (Joung), предложенную им еще в 1801 году. Согласно этой теории, восприятие около 160 оттенков, которые способен различать человеческий глаз, является результатом одиночных или суммируемых ответов трех видов рецепторов из которых каждый чувствителен к определенной длине волны, т.е. к определенному цвету.

Доминаторы и модуляторы. Трехцветная теория была подтверждена опытами Гранита, который с помощью микроэлектродов регистрировал потенциалы действия ганглинозных клеток в сетчатке кошки. Он нашел, что и в темно-, и в светоадаптированной сетчатке большая часть клеток (главным образом палочки) чувствительна к широкому спектру длин волн и реагирует на такие стимулы импульсацией. На кривой чувствительности сетчатки доминирует этот единый ответ на все цвета, который Гранит назвал доминаторным ответом. Но имеется также небольшая группа ганглиозных клеток, отвечающих импульсацией только на один из трех основных цветов. Эти ганглиозные клетки, связанные с рецептивными полями из колбочек, были названы модуляторами. Они видоизменяют импульсацию доминаторов в соответствии с длиной волны воспринимаемого света.

Как мы видели, сетчатка является важным звеном свето-воспринимающего аппарата. Здесь отбираются и группируются импульсы, возникающие в ответ на световые стимулы видимого спектра, топографически организуются контуры и модулируется восприятие цвета до того, как оно будет передано в мозг. 130 млн. рецепторных элементов связаны с одним миллионом ганглиозных клеток и соответствующих аксонов. Все это элементы сложной кодирующей системы, доставляющей информацию в еще более сложную передающую и декодирующую систему».

См. также следующие разделы статьи «Психология восприятия цвета» из Википедии: «Неосознаваемая психологическая коррекция восприятия цвета» и «Социально-культурные и эмоциональные особенности».

---

Итак, хотя аналогия и является мощным инструментом исследования, в частности, научного и эвристического, а ее нахождение может способствовать проникновению в сущность явлений, но при этом следует учитывать не только сходные, но и принципиально различные свойства исследуемых объектов, могущих поставить под вопрос правомерность их аналогии, не говоря уже об их тождественности. В частности, не тождественны материальные вещи и идеальные числа, нуль как счетное имя пустого множества и нуль как баланс, количественная счетная метрологическая мера (натуральное число) и количественная сравнительная мера физической характеристики (напр. заряда или массы).

[Sonic86]

(Оффтоп)

Stan Slapenarski в сообщении #707126 писал(а):

Цитата:

Вы можете это определить?

Не аксиоматически. Я уже писал здесь, что называние подобных объектов множествами может быть в книгах по наивной теории множеств. И у меня сложилось впечатление, что такими множествами, называют примерно то же, что в логике называют объемом понятия. А если такое множество состоит из материальных элементов, то его можно назвать материальным. Философское определение материи давать?

А, я понял, т.е. условно говоря, Вы говорите о прикладной теории множеств. Определение материи не нужно, спасибо.

[master]

Stan Slapenarski в сообщении #707060 писал(а):

Да, арифметические операции (например, сложение или умножение) уже надстраиваются над натуральным рядом, т.е. задаются как операции над числами.

тут есть подводный камешек. Возьмем кирпич и рядом поместим другой кирпич. чисел нет а операция есть.

[Ontt]

master в сообщении #707244 писал(а):

операция есть

Арифметическая?

[master]

Ontt в сообщении #707252 писал(а):

Арифметическая?

Вобще это операция объединения двух объектов или добавления одного объекта к другому, но рассматривать можно с нескольких позиций. И с некоторой позиции можно это объединение рассматривать как арифметическую операцию. А еще точнее арифметическая операция есть абстрактная выжимка объединения

[Ontt]

master в сообщении #707295 писал(а):

это объединение рассматривать как арифметическую операцию

Боюсь, что нельзя. Если мы попытаемся дать определение понятию "арифметическая операция", мы обязательно начнем с того, что это операция с числами. А не будет чисел - не будет и прилагательного "арифметическая" в понятии "арифметическая операция".

[master]

Ontt в сообщении #707304 писал(а):

Боюсь, что нельзя. Если мы попытаемся дать определение понятию "арифметическая операция", мы обязательно начнем с того, что это операция с числами.

а вы не бойтесь, тем более я не настаиваю на том что как называть, вопрос какая операция есть предок а какая потомок, вопрос в том что без операции сложения у вас кроме единицы нет других чисел, если конечно у вас множество чисел с неба не упало, ну а тут сами выбирайте либо с неба упало либо вы их создаете.

[Ontt]

master в сообщении #707314 писал(а):

вопрос в том что без операции сложения у вас кроме единицы нет других чисел, если конечно у вас множество чисел с неба не упало

Не соглашусь. Как числа могут быть определены без операции сложения, так и сложение может быть определено без чисел. А вот арифметическое сложение - это сложение чисел. Давайте отметим этот факт и вернемся к тому, с чего начали: к замечанию к сообщению post707060.html#p707060.

[bot]

jurij в сообщении #707110 писал(а):

Например, СЕМЬ звезд Большой Медведицы нельзя сложить с ПЯТЬЮ коровами, пасущимися на лугу.

А я хочу, и кто мне запретит?

[master]

Ontt
вынужден покинуть дискуссию. Возник вопрос: Является ли сложение чисел, хм... сложением чисел? брррр