Вывести оценку

[NyaQ]

Дано, что $f \in C^{1}[1, +\infty)$. Доказать:

$$|\sum_{k=m}^{n} f(k) - \int_m^{n+1} f(x)dx| \leq \int_m^{n+1} |f'(x)|dx$$

В каком направлении идти? Хотелось бы найти не трудоёмкое решение.

[nnosipov]

Проинтегрируйте очевидное равенство

$$ f(x)-f(k)=\int_k^x f'(t)\,dt $$

по $x$ от $k$ до $k+1$.

[TOTAL]

Неравенство

$$ \int_k^{k+1}(f(x)-f(k)+|f'(x)|)dx \geq 0$$

верно потому, что оно верно даже для

$$ g(x)=f(k)-\int_k^{x}|f'(t)|dt $$

[NyaQ]

nnosipov в сообщении #706841 писал(а):

Проинтегрируйте очевидное равенство

$$ f(x)-f(k)=\int_k^x f'(t)\,dt $$

по $x$ от $k$ до $k+1$.

Как интегрировать правую часть?

TOTAL в сообщении #706887 писал(а):

верно потому, что оно верно даже для

То есть $\int_k^{k+1} (f(x)-g(x))dx \geq 0$ ?
Тоже пока проблематично подставить.

[TOTAL]

NyaQ в сообщении #706955 писал(а):

То есть $\int_k^{k+1} (f(x)-g(x))dx \geq 0$ ?
Тоже пока проблематично подставить.

Что проблематично?

[NyaQ]

TOTAL в сообщении #706961 писал(а):

Что проблематично?

Интеграл от интеграла по верхнему пределу $\int_k^{k+1}(\int_k^x(|f'(t)|)dt)dx$

[--mS--]

NyaQ в сообщении #706966 писал(а):

Интеграл от интеграла по верхнему пределу $\int_k^{k+1}(\int_k^x(|f'(t)|)dt)dx$

Просто замените во внутреннем интеграле $x$ на $k+1$.

[TOTAL]

NyaQ в сообщении #706966 писал(а):

TOTAL в сообщении #706961 писал(а):

Что проблематично?

Интеграл от интеграла по верхнему пределу $\int_k^{k+1}(\int_k^x(|f'(t)|)dt)dx$

Что хотели сказать? (Последняя попытка услышать ответ на вопрос.)

[NyaQ]

--mS-- в сообщении #706968 писал(а):

Просто замените во внутреннем интеграле $x$ на $k+1$.

Но ведь если просто заменить, то я потеряю зависимость от $x$?
Или это и имеется в виду (?):

$$\int_k^{k+1}(\int_k^x(|f'(t)|)dt)dx = (\int_k^{k+1}(|f'(t)|)dt)\cdot1$$

TOTAL в сообщении #706969 писал(а):

Что хотели сказать?

Я хотел сказать, что не знаю, как преобразовывать двойные интегралы такого сорта.

[TOTAL]

NyaQ в сообщении #706972 писал(а):

Я хотел сказать, что не знаю, как преобразовывать двойные интегралы такого сорта.

Какое отношение это имеет к задаче?

[NyaQ]

TOTAL в сообщении #706961 писал(а):

NyaQ в сообщении #706955 писал(а):

То есть $\int_k^{k+1} (f(x)-g(x))dx \geq 0$ ?
Тоже пока проблематично подставить.

Что проблематично?

TOTAL в сообщении #706887 писал(а):

$$ g(x)=f(k)-\int_k^{x}|f'(t)|dt $$

Либо я Вас не правильно понял, либо мне надо было подставить $g(x)$ в интеграл и, тем самым, доказать неравенство:

TOTAL в сообщении #706887 писал(а):

$$ \int_k^{k+1}(f(x)-f(k)+|f'(x)|)dx \geq 0$$

[TOTAL]

$$ \int_k^{k+1}(f(x)-f(k)+|f'(x)|)dx \geq \int_k^{k+1}(g(x)-g(k)+|g'(x)|)dx \geq 0$$

Левое неравенство очевидно из определения функции $g(x).$
Доказывайте правое, тоже просто (никаких двойных интегралов!)

[_hum_]

А может, все-таки методически правильнее содержательно его доказывать (а не формально). Ведь суть-то - оценить ошибку аппроксимации интеграла суммой (или наоборот - суммы интегралом).

Отталкиваться можно от того, что сумму всегда можно представить в виде интеграла:
$\sum_{k=m}^n f(k) = \int_{m}^{n+1} g(x)dx$, где $g(x)$ - ступенчатая функция, принимающая на интервалах вида $(k, k+1]$ постоянные значения, равные $f(k)$.

[NyaQ]

TOTAL в сообщении #706977 писал(а):

$$ \int_k^{k+1}(f(x)-f(k)+|f'(x)|)dx \geq \int_k^{k+1}(g(x)-g(k)+|g'(x)|)dx \geq 0$$

Левое неравенство очевидно из определения функции $g(x).$
Доказывайте правое, тоже просто (никаких двойных интегралов!)

$\int_k^{k+1}(g(x)-g(k)+|g'(x)|)dx = \int_k^{k+1}(f(k)- \int_k^{x}|f'(t)|dt-f(k)+|(\int_k^{x}|f'(t)|dt)_x'|)dx = \int_k^{k+1}(|(\int_k^{x}|f'(t)|dt)'| - \int_k^{x}|f'(t)|dt)dx$
А что дальше?
Ясно, что $(\int_k^{x}f'(t)dt)_x'=f'(x)$, но $\int_k^{x}|f'(t)|dt$ может быть уже не дифференцируема?

[TOTAL]

NyaQ в сообщении #706990 писал(а):

$\int_k^{k+1}(g(x)-g(k)+|g'(x)|)dx = \int_k^{k+1}(f(k)- \int_k^{x}|f'(t)|dt-f(k)+|(\int_k^{x}|f'(t)|dt)_x'|)dx = \int_k^{k+1}(|(\int_k^{x}|f'(t)|dt)'| - \int_k^{x}|f'(t)|dt)dx$
А что дальше?

Опять не пишете, что хотели сделать, поэтому непонятно, в какой стороне дальше, поэтому я прекращаю участвовать в этом топике.