Строгость неравенства

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Меня интересует, в каких случаях допустимо из двух неравенств выводить третье. В частности, обязательно ли доказывать их строгость (или 100-%-ную выполнимость). Потому что иногда приходишь или к очевидным неравенствам, или вовсе к неправильным. Хотя вроде и тот и другой переход были законны- по отдельности...
Комментарий: про требования одинаковых знаков в неравенствах знаю.

[Cash]

Вы бы пример привели. Совершенно непонятно о чем речь.

[ИСН]

"Из двух выводить третье" - это слишком общая формулировка.
"1<2, кролик меньше лошади, значит, Африка меньше, чем Техас."

[TOTAL]

Nikolai Moskvitin в сообщении #706894 писал(а):

В частности, обязательно ли доказывать их строгость (или 100-%-ную выполнимость). Потому что иногда приходишь или к очевидным неравенствам, или вовсе к неправильным.

Чем вовсе неправильное отличается от выполнимого на 99%?

[gris]

Строгость неравенства обычно означает отсутствие равенства. Неравенства одинаковых по направлению знаков можно складывать. При этом если одно из неравенств строгое, то и результат будет строгим неравенством.

По 100% выполнению это не строгость. Если, предположим, первое неравенство выполняется в 90% случаев, а второе в 80%, то результат гарантированно будет выполняться на пересечении случаев, то есть не меньше 70%? Хотя, возможно, и больше.

Поясню. Рассмотрим отрезок $[0,1]$.
Неравенство $x\leqslant 0.6$ выполняется на отрезке $[0,0.6]$, то есть в 60% случаев.
Неравенство $x\leqslant 0.4$ выполняется на отрезке $[0,0.4]$, то есть в 40% случаев.
Следствие (сумма) — Неравенство $x\leqslant 0.5$ выполняется не только на пересечении множеств выполнения обоих неравенств, а на отрезке $[0,0.5]$, то есть в 50% случаев.

[ИСН]

Думаете, я просто прикалываюсь?
$-1<{1\over2},\;1>{1\over2}$,
значит
$-1<1$
Вывел я из двух третье? Вывел. Теперь: при чём тут их строгость, что такое 100-%-ная выполнимость (и какая ещё бывает), что такое требование одинаковых знаков, выполняется ли оно, и если нет - нужно ли оно?

[Nikolai Moskvitin]

TOTAL в сообщении #706898 писал(а):

Чем вовсе неправильное отличается от выполнимого на 99%?

Я имел в виду другое. Можно доказать более слабое неравенство, а затем более сильное. Например,$x^2+1>0$ и $x^2+1>1$.
Вообще сейчас изучаю геометрические неравенства. И, например, если у нас есть две наклонных, проведённых из одной точки и высота из той же точки, то можно вывести как более слабое геометрическое неравенство, так и более сильное.

gris в сообщении #706899 писал(а):

По 100% выполнению это не строгость.

А это как-то связано с понятием силы неравенства? Мне кажется, я перепутал три понятия между собой :)

ИСН в сообщении #706900 писал(а):

что такое требование одинаковых знаков

Я имел в виду, что складывать можно только неравенства, у которых между левыми и правыми частями стоит один и тот же знак, определяющий отношение порядка.

[TOTAL]

Nikolai Moskvitin в сообщении #706911 писал(а):

Можно доказать более слабое неравенство, а затем более сильное. Например,$x^2+1>0$ и $x^2+1>1$.

Можно вообще ничего не доказывать. И что, в чем вопрос?

[ИСН]

Nikolai Moskvitin, Ваш вопрос в целом относился только к тому, когда можно складывать неравенства, или не только?

[Nikolai Moskvitin]

ИСН в сообщении #706914 писал(а):

Nikolai Moskvitin, Ваш вопрос в целом относился только к тому, когда можно складывать неравенства, или не только?

Нет, не только. Вот что мне непонятно: как избежать ошибок при многократном применении следований из неравенств? Вот, например, такой классической, как: $a<b$, $a<c$ ...и делается неправильный вывод. Есть ли принципиально другие ошибки?

[TOTAL]

Nikolai Moskvitin в сообщении #706928 писал(а):

Есть ли принципиально другие ошибки?

Какой принцип у этой ошибки?

[ИСН]

Какой здесь делается вывод и на каком основании?

[Nikolai Moskvitin]

TOTAL в сообщении #706938 писал(а):

Какой принцип у этой ошибки?

Просто не хочется такие грубые ошибки делать. Из $a<b $и $a<c$ выводится, что $b<c$ (но это неправильно!). Ошибка слишком тривиальная. Дело, однако, в том, что под $a$,$b$,$c$ могут быть любые выражения. Ещё вспомнил про ошибку со знаком, но это недосмотр. А тут-логика. Мне кажется, дело в порядке латинских букв в алфавите. Так же в том, что нет конкретных чисел.

[ИСН]

Всех ошибок не перебрать никогда. "Ум человеческий имеет предел, а глупость безгранична." Это работает не так. Нельзя знать все неправильные пути. Можно знать правильные и ходить только по ним.