Много факториалов

[arqady]

Для всех натуральных $n$ докажите, что:

$$(1!2!3!\cdot...\cdot n!)^2\leq(1+2+3+...+n)!$$

[Shadow]

Если не ошибаюсь, индукцией, при переходе от $n-1 \text { к } n$ надо доказать, что

$(n!)^2 \le \left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)\left(\frac{n(n-1)}{2}+2\right)\cdots \left(\frac{n(n-1)}{2}+n\right)$

Если разделить множители на пары получим

$\left(\frac{n+1}{2}-a\right)^2 \left(\frac{n+1}{2}+a\right)^2 \le \left(\frac{n^2+1}{2}-a\right) \left(\frac{n^2+1}{2}+a\right)$

Положим
$\\\frac{n+1}{2}=u\\ \frac{n^2+1}{2}=v\\ \\ u^2 \le v$


$\\(u^2-a^2)^2 \le v^2-a^2\\ (u^2-a^2)^2 \le (v-a^2)^2 \le v^2-a^2\\ 2v \ge a^2+1\\ n^2+1 \ge a^2+1$

Так оно и есть.

[arqady]

Попробуйте найти комбинаторное доказательство.