Непрерывность

[devgen]

Пусть функция $f(x)$ непрерывна и ограничена в интервале $(x_0;+\infty)$. Доказать, что каково бы ни было число $T$, найдется последовательность $x_n$, такая что, $\lim\limits_{n\to\infty}[f(x_n)-f(x_n+T)]=0$.

Правильно я понимаю, что подойдет любая бесконечно большая последовательность?

[Sonic86]

devgen в сообщении #706733 писал(а):

Правильно я понимаю, что подойдет любая бесконечно большая последовательность?

Более того, даже необходимо $\lim\limits_{n\to\infty} x_n =\infty$, иначе монотонно возрастающая $f$ будет контрпримером для сходящейся $x_n$.

[ИСН]

Главное - это правильная визуализация. Вы вот как себе всё это представляете? $f(x)$ - это какая, например, функция могла бы быть?

[devgen]

ИСН
Что-нибудь вроде $\arctg(x)$, раз функция ограничена на бесконечности, у неё там есть верхняя/нижняя грань. Единственный вариант, чтобы ничего не хотеть дополнительного от $f(x)$ и получить требуемое свойство, это к ней тыкаться.

Наверное, только не любая последовательность, а такая, чтобы функция по ней на бесконечности к чему-нибудь сходилась.

Только я не понимаю, чем мне тут помогает непрерывность, я использую только ограниченность выходит.

[ИСН]

Вас ждёт ужасная догадка.

[Oleg Zubelevich]

Предположим противное: для любого (достаточно большого) $x$ имеем $f(x)-f(x+T)\ge c>0$ (для определенности)
$f(x+T)\le f(x)-c$
что видим?

[ИСН]

Oleg Zubelevich, вот Вы сейчас шпагой чик-чик - и докажете, а товарищ останется думать, что арктангенс - это хороший пример непрерывной и ограниченной функции. Тут надо не в математику лезть (она тривиальная, как везде в этом подфоруме), тут в голову надо. Откуда взялся такой пример? Из интуитивного представления, что такая функция "обычно" имеет пре...

[devgen]

ИСН
Плохой пример, потому что она еще и монотонно возрастающая, а из того что она монотонно возрастает и ограничена, следует существование предела?

Пусть мы возьмем какую-нибудь немонотонную функцию, но из последовательности её значений мы ведь можем выделить сходящуюся подпоследовательность, (так как последовательность значений функций у нас ограниченна), , которая нам и подойдет? И я опять не использовал непрерывность.

-- Сб апр 06, 2013 20:54:22 --

Oleg Zubelevich
Кроме убывания ничего не вижу.

[Oleg Zubelevich]

да уж, тут нужно большое терпение... Свалил

[ИСН]

Доказательное знание и интуитивное ("нутром чувствую, что литр, а доказать не могу") - это два колеса одного велосипеда. Второе без первого бесплодно, первое без второго ненадёжно.

devgen в сообщении #706761 писал(а):

Плохой пример, потому что она еще и монотонно возрастающая, а из того что она монотонно возрастает и ограничена, следует существование предела?

Именно. А вдруг она - синус?

[мат-ламер]

devgen в сообщении #706733 писал(а):

Пусть функция $f(x)$ непрерывна и ограничена в интервале $(x_0;+\infty)$. Доказать, что каково бы ни было число $T$, найдется последовательность $x_n$, такая что, $\lim\limits_{n\to\infty}[f(x_n)-f(x_n+T)]=0$.

(Оффтоп)

Из какого задачника?

[ИСН]

devgen, для ясности придумайте контрпримеры с нарушением условий. Если, допустим, функция не непрерывна - тогда что может быть?

[devgen]

ИСН
Не знаю. Если точек разрыва конечное число, то мы сразу можем "уехать" на интервал без них. Если счетное, то последовательность значений функций то всё-равно ограничена, не понимаю, что может мешать.

$$ f(x)=\begin{cases} \sin x,&\text{если $x \ne \frac{\pi k}{2}$}\\ \frac{1}{2^k},&\text{если $x=\frac{\pi k}{2}$;}\\ \end{cases} $$

Тогда искомая последовательность $x_n=\frac{\pi n}{2}$

мат-ламер

(Оффтоп)

Демидович №752

[ИСН]

Какая ещё искомая? Мы какое утверждение доказываем? Для любого числа есть последовательность. Значит, контрпример гласит что? Отрицание утверждений умеете составлять? "Немедведь не лезет не на дерево."

[devgen]

ИСН
Глупость сказал.

Доказываем: Если функция непрерывна и ограничена на интервале $(x_0;+\infty)$, то для любого числа $T$ найдется такая последовательность $x_n$, что $\lim\limits_{x\to\infty}[f(x_n+T)-f(x_n)]=0$

Отрицание(одного условия): Если функция имеет точки разрыва и ограничена на интервале $(x_0;+\infty)$, то найдется такое число $T$, что для любой последовательности $x_n$, равенство $\lim\limits_{x\to\infty}[f(x_n+T)-f(x_n)]=0 не выполнено.$