Задача по матфизике: продольные колебания стержня

[Nevo]

Помогите пожалуйста решить задачу по матфизике, никак не получается

Найти продольные колебания стержня, один конец которого (x = 0) закреплен жестко, а другой (x = l) свободен, при начальных условиях

u(x, 0) = kx, u_t(x, 0) = 0 при 0 \leqslant x \leqslant l.

(c) Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов Сборник задач по математической физике стр.33 зад.103

[Zai]

Ваше уравнение имеет вид:
$\frac {\partial^2 u} {\partial t^2}=c^2\frac {\partial^2 u} {\partial t^2}}
Представим решение в виде
$u(x,t)=e^{i \omega t}g(x)
Или
$ \ddot g +\frac {\omega^2} {c^2} g=0
с граничными условиями отсутствия напряжений на концах стержня (Это не Ваши граничные условия а несколько проще):
$\frac {d g(0)} {d x}=\frac {d g(l)} {d x}=0
Откуда получаем
g_n(x)=cos(\pi n \frac x l),n=0,1,2,3,...
$\omega_n=\pi n \frac c l
Ввиду отсутствия начальных скоростей, решение имеет вид:
$u(x,t)=c_0+\sum \limits_{n=1} ^{\infty} c_ncos(\pi n \frac x l)cos(\pi n \frac c lt)
Вам нужно разложить в ряд Фурье ваше начальное условие и получить коэффициенты $C_n
Стержень на начальный момент времени был равномерно растянут, после чего его концы освободили и он начал совершать колубания относительно центра тяжести. В начальный момент времени центр тяжести смещен на некоторую величину.

[Developer]

Zai писал(а):

Ваше уравнение имеет вид:
$\frac {\partial^2 u} {\partial t^2}=c^2\frac {\partial^2 u} {\partial t^2}}

Опечатка...
Должно быть $\frac {\partial^2 u} {\partial t^2}=c^2\frac {\partial^2 u} {\partial x^2}} или в другой записи (по Тихонову и Самарскому) $u_{tt} = c^2 u_{xx}...