Погружение 3-сферы в евклидово пространство

[Bulinator]

Задался вопросом. Допустим у нас есть сфера $S^3$ на которой мы максимально произвольным образом определяем метрику $g_{ij}$. Максимально произвольным означает, что форма $g(x): TS^3_x\times TS^3_x\to \mathbb{R}^+$ положительна определена и дифференцируема($k\geq 2$ раз) но не обязательно совпадает с обычной метрикой на сфере.
Вопрос: какой должна быть минимальная размерность евклидового пространства $\mathbb{R}^n$, чтобы любая такая сфера изометрически вкладывалась(погружалась) в это пространство.

Согласно теореме Неша получается $n=3^2+5\times 3+3=27$, но что-то мне подсказывает, что в случае сферы можно обойтись и пространством меньшей размерности. Так?

[Утундрий]

Bulinator в сообщении #706328 писал(а):

...не обязательно совпадает с обычной метрикой на сфере

То есть, попросту говоря, никакая это не сфера.

[Bulinator]

Утундрий в сообщении #706339 писал(а):

То есть, попросту говоря, никакая это не сфера.

Ну.... Называйте как хотите, но существует диффеоморфизм между этой "не-сферой" и тем, что вы называете сферой.

[Утундрий]

Допустим, речь идёт о т.н. топологической сфере. Тогда это математика уровня Перельмана и Тёрстона.

[Bulinator]

Утундрий в сообщении #706346 писал(а):

Тогда это математика уровня Перельмана и Тёрстона.

А мне кажется, что alcoholist или Padawan знают ответ.

[Утундрий]

(Оффтоп)

С интересом послушаю.

[ИгорЪ]

Хм. А что мешает в $R^4$ впихнуть обычную 3-сферу, а потом деформировать её разными метриками?

[Bulinator]

Ну я тоже так подумал, но, так сказать, боюсь делать утверждения, которые не совсем понимаю. Например, возникает вопрос: пусть на сфере заданы две метрики $f,h(x):TS^3_x\times TS^3_x\to \mathbb{R}^+$. Обязательно ли существует непрерывная (пусть будет) "гомотопия" $g(x,t):[0,1]\times TS^3_x\times TS^3_x\to \mathbb{R}^+$ такая, что $g(x,0)=f(x)$ и $g(x,1)=h(x)$?

-- Пт апр 05, 2013 21:03:52 --

Может я не в ту сторону думаю, но вот представьте: исходно у нас есть 2-сфера изометрически вложенная в $\mathbb{R}^3$ и имеющая обычную форму(т.е. обычную метрику). Теперь рассмотрим малую деформацию $\delta S^2$. Ее можно задать векторным полем $j(x)$(которое должно удовлетворять каким-то там условиям). Т.е. точка $x$ сферы (т.к. сфера вложена в $\mathbb{R}^3$ то эта точка общая), перемещается в точку $x+\varepsilon j(x)$ объемлющего пространства. Понятно, что если вкладываемся в $\mathbb{R}^3$, то поле $j$- трехмерно. Однако, почему мы не можем вложить сферу, например, в $\mathbb{R}^4$ и рассматривать 4-мерное $j$? И, таким образом можно повышать размерность нового пр-ва до бесконечности. С другой стороны, есть какие-то условия, которым это поле должно удовлетворять. Вобщем, дальше идет путаница...

[Munin]

Bulinator в сообщении #706328 писал(а):

Согласно теореме Неша получается 27, но что-то мне подсказывает, что в случае сферы можно обойтись и пространством меньшей размерности. Так?

А отчего должно быть меньше? Чем сфера лучше общего случая?

Утундрий в сообщении #706339 писал(а):

То есть, попросту говоря, никакая это не сфера.

Ну скажите "носок".

ИгорЪ в сообщении #706369 писал(а):

Хм. А что мешает в $R^4$ впихнуть обычную 3-сферу, а потом деформировать её разными метриками?

Не всегда будет в 4 измерения помещаться.

Bulinator в сообщении #706371 писал(а):

боюсь делать утверждения, которые не совсем понимаю.

Думаю, вам надо копаться в доказательстве Нэша, чтобы увидеть, какими свойствами он пользуется, а какими нет.

[Bulinator]

Munin в сообщении #706381 писал(а):

Чем сфера лучше общего случая?

Ну... я думал... прлагал... Она ведь компактна. Ну сфера, то есть. Это ничего не дает?

[Munin]

Это какое-то глобальное свойство. Но я не думаю, что оно даёт какие-то преимущества.

Скажем, плоскость тоже можно погрузить в куб с конечным объёмом. Свернём её в трубочку, а то, что получилось - (в 4-м измерении) - ещё в трубочку. И даже комкать (негладко) не пришлось.

Скорее, компактность может помешать погружению: вот, мы погружаем окрестность, потом расширяем, расширяем... упс, а теперь ещё края как-то соединить надо. Но теорема это уже, вроде бы, учитывает.

[g______d]

Bulinator в сообщении #706371 писал(а):

Ну я тоже так подумал, но, так сказать, боюсь делать утверждения, которые не совсем понимаю. Например, возникает вопрос: пусть на сфере заданы две метрики $f,h(x):TS^3_x\times TS^3_x\to \mathbb{R}^+$. Обязательно ли существует непрерывная (пусть будет) "гомотопия" $g(x,t):[0,1]\times TS^3_x\times TS^3_x\to \mathbb{R}^+$ такая, что $g(x,0)=f(x)$ и $g(x,1)=h(x)$?

Это, по-видимому, очевидно: просто берем выпуклую комбинацию. Сумма двух положительно определенных симметричных матриц тоже таковой является, откуда все следует.

[Bulinator]

Правильно ли я понимаю теорему Нэша?
Изометрическое вложение сферы и вообще любого Риманого многообразия $M$ размерности $m$ в пространство $\mathbb{R}^n$ означает, что у нас задано отображение $f:M\to \mathbb{R}^n$ такое, что метрика в каждой точке этого многообразия является индуцированой из метрики евклидового. Локально имеем отображения

$$ z^\mu=f^\mu(x^1,\ldots,x^m), $$

где $z$- координаты $\mathbb{R}^n$ а $x$- координаты $M$.Тогда

$$ dz^\mu dz^\nu\delta_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}\partial_i z^\mu\partial_j z^\nu dx^i dx^j\quad\Rightarrow \quad g_{ij}=\delta_{\mu\nu}\partial_{(i} z^\mu\partial_{j)} z^\nu $$

Притом на данном этапе мы не фиксируем размерность объемлющего пространства. Понятно, что для каких-то $f^\lambda$ может быть $\partial_if^\lambda=0$, что будет означать, что в принципе, нам хватило бы и меньших размерностей, чтобы впихнуть многообразие $M$ в $\mathbb{R}^n$.

Теперь, пусть $n$ равно $m^2+5m+3$, т.е. минимальной размерности из теоремы Нэша . Изометрически вложим наше пространство в какое-то евклидово пространство размерности $n+k$ так, что $f^{n+i}=0$ и рассмотрим малое преобразование $M\to M+\delta M$:

$$ f^\mu(x)\to f^\mu(x)+\varepsilon j^\mu(x),\quad \mu=1,\ldots,n+k. $$

(Тут малость особо ничего не дает, я просто взял его для удобства дальнейших рассждуени if any).
Обратите внимание, что $\mu$ пробегает все $n+k$ значений.

Вопрос:
Правильно ли я понимаю, что теорема Нэша утверждает, что для любого такого преобразования, существует матрица поворота $A(j)$ такая, что только первые $n$ компонент вектора $A(f+j)$ отличны от нуля?

-- Чт апр 11, 2013 19:45:52 --

Ну, еще, м.б. и какая-нибудь трансляция.

[Munin]

Существует, если вы подразумеваете, что поворот и трансляция - функции точки $x^i$ в $M.$

Представим себе, что $M$ - окружность. Рассмотрим два её погружения: общеизвестное на плоскость, и в 3-мерное пространство - как линию пересечения двух цилиндров равного радиуса со скрещивающимися осями. Понятно, что вторую линию можно "расправить" в плоскость, но нельзя повернуть как целое, чтобы она "уложилась" в плоскость.

Кроме того, малость $\delta f$ здесь нужна для того, чтобы предотвратить случаи, когда $M+\delta M$ (даже при $\delta M=0$) погружена в пространство двумя способами, по каким-либо причинам несводимыми друг к другу. (Хотя, кроме избежания негладкости и самопересечений, мне ничего не приходит в голову, но я в этом плаваю.)

[Bulinator]

Munin в сообщении #708845 писал(а):

Существует, если вы подразумеваете, что поворот и трансляция - функции точки $x^i$ в $M.$

Они функции величин $j$, которые в свою очередь функции точки $M$.

Munin в сообщении #708845 писал(а):

и в 3-мерное пространство - как линию пересечения двух цилиндров равного радиуса со скрещивающимися осями.

Насколько я могу это себе представить, то получается плоская замкнутая кривая, так что просто поворотом можно ее впихнуть в плоскость. А вот искривленное велосипедное колесо(как в "Ну погоди!")- нельзя. И потом- насколько я понимаю, в самом общем случае, для окружности необходимо минимум $1^2+5\times 1+3=9$-мерное пространство.(О! прям как в супергравитации )