Несобственный интеграл

[devgen]

Suppose
$\int\limits_{0}^{\infty}f(x)dx$ exists. Which statements are FALSE?

I. $\lim_{x \to \infty} f(x)=0$

II.$\int\limits_{0}^{\infty}|f(x)|dx$ exists

III.$\int\limits_{0}^{\infty}[f(x)]^2dx$ exists

Ответ говорит, что все три пункта неверны.

Для второго и третьего можно легко подобрать знакопеременные ряды с таким свойством, наверное это значит, что и интегралы такие есть?

А что с первым не так, не могу понять.

[ИСН]

Вообразите себе функцию, график которой состоит из тоненьких придорожных столбов высотой 1. Первый столб шириной 1/2, второй - 1/4, и т.д. Во всех остальных местах - голимый нуль.

[devgen]

ИСН
Извините, не понял, почему не $\lim_{x \to \infty} f(x)=0$, если для всех $x$ больше двух функция тождественный ноль. Или это к чему-то другому пример?

[AKM]

Но столбики стоят ровно в точках $x=1,2,\ldots,1000,\ldots$

-- 05 апр 2013, 17:39 --

Для всех целых $x$ функция не нуль. Узенький такой не нуль. Нули только между столбиками.

[devgen]

Т.е., например, я ставлю в точки вида $2^n$ столбы шириной $\frac{1}{2^n}$?

[SpBTimes]

Нет. В целых точках $k$, начиная с $2$, положите $f(x) = 1$. Затем в точках $k \pm \frac{1}{2^k}$ нулем. Точки $k$ с соответствующими $k \pm \frac{1}{2^k}$ соедините отрезками (т.е. функция там линейна). В остальных точках положите $f = 0$

[AKM]

devgen в сообщении #706182 писал(а):

Т.е., например, я ставлю в точки вида $2^n$ столбы шириной $\frac{1}{2^n}$?

Я, когда решил проделать эту лабу, ставил в точки вида $n$ такие столбики (ну, как на Калужском шоссе). Но ничего не мешает Вам поставить их в другие места, в частности, в точки вида $2^n$.

[Oleg Zubelevich]

правильность утверждения II зависит от того какой интеграл рассматривается Римановский или Лебеговский

в случае интеграла Лебега утверждение II верно, в случае интеграла Римана -- необязательно

[TelmanStud]

первое это необходимое условие

-- 05.04.2013, 18:24 --

Если интеграл сходится абсолютно то он сходится, обратное неверно так что выполнение пункта 2 необязательно

[devgen]

А, столбы треугольные? Понятно.
Меня смущает то, что тогда не получается ли, что есть ряд общий член которого не стремится к нулю?

[gris]

Да хоть бы и прямоугольные столбы. Функция будет разрывной и пусть. Необходимым является стремление к нулю не самой функции, а её "хвоста", то есть интеграла от любого числа до бесконечности.
А ряд мы там такой не получим. Определённые интегралы по отрезкам будут стремиться к нулю при стремлении левого конца в бесконечность.

[devgen]

gris
Не понимаю, почему выполнится необходимое условие, о котором вы говорите, для этой функции. Интеграл ведь от неё от любого числа до бесконечности это разность двойки и суммы конечного числа столбов, которые остались до "любого числа". Это ведь не ноль?

У нас есть последовательность $\int\limits_{0}^{n}f(x)dx$, тогда критерий существования её предела такой:
$\forall \varepsilon>0 \exist N, \forall n,p>N |\int\limits_{0}^{n+p}f(x)dx-\int\limits_{0}^{n}f(x)dx|<\varepsilon$

Но это разность равна $|\int\limits_{n}^{n+p}f(x)dx|$. Значит этот хвост должен стремиться к нулю.
А то, что сама $f(x)$ должна стремиться к нулю, отсюда не получается, вроде бы?

И ваше объяснение про ряд я не понял:(

[Oleg Zubelevich]

можно и явную формулу написать

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+(2^n(x-n))^2}$$

предел к нулю не стремится, интеграл сходится

[gris]

Вот и бесконечно гладкий пример появился.
Необходимый признак Вы правильно записали. И у нас хвост стремится к нулю. Столбцы уходят в бесконечность. Но они делаются всё тоньше, причём в геометрической прогрессии. То есть сумма площадей любого их числа меньше двух (для нашего примера). И если мы отделим их друг от друга точками и посчитаем интеграл для каждого отрезка, то значения определённых интегралов будут представлять сходящийся ряд, члены которого стремятся к нулю. Ну или общий член, как Вы написали. Как бы мы не делили числовую ось на отрезки, мы будем получать всё время сходящиеся ряды. Это справедливо для любой функции из условия.
Я имел в виду именно числовой, а не функциональный ряд, хотя в определённом смысле и для функционального ряда это верно, правда при наложении некоторых условий. Но это не в тему.
Вот ту сумму из гладких горбиков можно поделить на интегралы двумя способами: на несобственный интегралы от нуля до бесконечности от каждого слагаемого или на обычные интегралы по отрезкам, на которые разбита полупрямая, от суммы функционального ряда. И в обоих случаях получатся сходящиеся ряды.

Хотя я бы просто задал функцию, равную нулю везде, кроме натуральных иксов, где она равна 1. Она интегрируема, интеграл равен нулю, а предела нет.

[devgen]

Ура, я понял!
Спасибо!