Найти флуктуацию центра масс для идеального газа.

[etsu]

Найти флуктуацию положения центра масс для идеального однородного газа, заключенного в сферу радиуса $R_0$

В этой книге Гречко Л.Г. Сугаков В.И. Томасевич О.Ф. Федорченко А.М "Сборник задач по теоретической физике" на странице 315 зад. 161 приводится такой ответ $<(\Delta r_c)^2> =\frac {<\rho(r)> }{N^2}\int {r^2dxdydz}=\frac 3 {5N} {R_0}^2$

Решение кажется довольно очевидно, но никак не пойму откуда это берется. Помогите, пожалуйста.

[tola]

Решение - очевидно, или ответ?
Мне ничего не очевидно.
Если Вам решение очевидно, - поделитесь.

[etsu]

tola в сообщении #705754 писал(а):

Решение - очевидно, или ответ?
Мне ничего не очевидно.
Если Вам решение очевидно, - поделитесь.

Имел ввиду, что решение должно быть простое, а вот только какое понять не могу ))

[mihiv]

Выразите радиус-вектор центра масс через радиусы-векторы отдельных молекул. Среднее значение радиуса-вектора центра масс очевидно. Найдите среднеквадратичное отклонение от среднего значения.

[etsu]

mihiv в сообщении #705811 писал(а):

Выразите радиус-вектор центра масс через радиусы-векторы отдельных молекул. Среднее значение радиуса-вектора центра масс очевидно. Найдите среднеквадратичное отклонение от среднего значения.

Сделал все так, $<(r_i-r_c)^2> =\frac {\int{\rho r^2 dV}}{\int{\rho dV}}=\frac 3 5 R_0$ но в ответе нет N, где я мог его потерять?

[nikvic]

etsu в сообщении #705848 писал(а):

где я мог его потерять?

Так у Вас в формуле его и не было...

[mihiv]

$\vec r_c=\dfrac {\sum \vec r_i}N$

[nikvic]

Ага, вижу, но интеграл не понимаю. Я бы пошёл иначе - сначала найти дисперсию для одной частицы, потом - сумма независимых случайных величин.

[etsu]

Вот окончательное решение $\vec r_c = \frac{\int{\rho\vec r dV}}{\int{\rho dV}}=0$ т.к. интегрирование по шару.
Дисперсия для $\vec r$ равна $D[\vec r]=M[r^2]=\frac{\int{\rho r^2 dV}}{\int{\rho dV}}=\frac 3 5 {R_0}^2$
$\vec r_c$ есть по сути выборочное среднее по $N$ молекулам.
Флуктуация цетра масс есть дисперсия от выборочного среднего, т.е. $<(\Delta \vec r_c)^2> = <(\vec r_c-<\vec {r_c}>)^2> = <r_c^2> =\frac 1 N D[\vec r]=\frac{3R_0^2}{5N} $
Вот и получился ответ как в учебнике (см. 1 пост).

Спасибо всем, особенно nikvic за идею.