Проблема Гольдбаха, интересное упражнение

[yuly]

задали доказать такое упражнение по теме проблема Гольдбаха из книги Р. Вон "Метод Харди-Литтлвуда" стр.43.

Покажите, что каждое большое натуральное число может быть представлено в виде
$p_1+p_2+x^k$

Предположений вообще никаких нет((
Может кто-то уже сталкивался с такой проблемой, помогите пожалуйста.

[vorvalm]

Что понимать под числами $p_1,\;p_2,\;x,\;k$?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Перенёс в соответствующий раздел

[yuly]

$k\geqslant2$
p-простые числа

[ex-math]

Это задача Эстермана, конец 30-х годов.
Если у Вас был какой-то цикл занятий и Вам это задали, то у Вас должны быть предположения.
Наверняка, Вам рассказывали тернарную проблему Гольдбаха. Действуйте аналогично, заменив одну из сумм по простым числам суммой Вейля

$$ \sum_{x\leqslant N^{\frac1k}}e^{2\pi i\alpha x^k}. $$

Из нового по сравнению с проблемой Гольдбаха Вам понадобится оценка этой суммы на малых дугах (оценка Вейля) и асимптотика этой суммы на больших дугах (выводите по аналогии с суммой по простым) плюс простейшие оценки полной суммы $k$-ой степени.

Если Вы честно будете решать и писать свои выкладки здесь, то я Вам помогу.

Кстати, интересно, где сейчас дают такие задачи?

[Deggial]

yuly в сообщении #705295 писал(а):

k - натуральное число, k>=2
p-простые числа

yuly, замечание за неправильное оформление формул. В случае неправильного оформления тема будет перемещена в Карантин

[yuly]

дали как курсовую работу доказать это упражнение
ранее ничего подобного не изучали, и с теорией чисел большие проблемы, из-за болезни преподавателя
а про задачу Эстермана первый раз слышу.

[vorvalm]

Что означают индексы простых чисел?

[ex-math]

К сожалению, в книгах эта задача как таковая не разбирается.
Возьмите любую книгу, где разобрана тернарная проблема Гольдбаха. Вон -- плохая книга, возьмите лучше Карацубу "Основы аналитической теории чисел". Прочтите решение проблемы Гольдбаха, разберите его, и вносите нужные Вам для этой задачи изменения.

[yuly]

http://www.huminst.ru/lib/%D0%9C%D0%B0% ... D1%81..pdf
страница 34

[ex-math]

У Вона не лучшее изложение, посмотрите книгу Карацубы.

[yuly]

спасибо) уже скачала
интересно узнать ваше мнение, про упражнение №2 на странице 43, может стоит им заняться

это ссылка на онлайн книгу
http://www.huminst.ru/lib/%D0%9C%D0%B0% ... D1%81..pdf

[ex-math]

Если у Вас есть выбор, то лучше первое. Второе чуть сложнее. Это -- обобщенная проблема Гольдбаха, асимптотика количества решений $a_1p_1+a_2p_2+a_3p_3=N$.

[yuly]

ок) спасибо)